Элементы теории множеств. Аминова А.В. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

- - - - -
-2 -1
0
1 2
s s s s s
Рис. 18.
т. е. если множество X содержится в объединении семейства
(A
i
).
Пример. Семейство (A
z
)
z∈Z
интервалов A
z
= (z, z + 2)
покрывает числовую ось.
Определение 11. Семейство (A
i
)
i∈I
подмножеств множе-
ства E называется разбиением множества X ⊂ E, если вы-
полнены следующие условия:
1) семейство (A
i
) покрывает X,
2) (∀i ∈ I) : A
i
6= Ø (множества A
i
не пусты),
3) [i 6= j] ⇒ [A
i
T
A
j
= Ø] (множества A
i
попарно не пере-
секаются).
Пример. Семейство (A
z
)
z∈Z
, где A
z
= [z, z + 1), образует
разбиение числовой оси (рис. 18).
3. Отношение эквивалентности.
Бинарным отношением R на множестве E называется
подмножество произведения E × E, т. е. некоторое множество
R пар (x, y) элементов x, y из E :
R ⊂ E × E.
Примеры бинарных отношений на числовой оси – множе-
ства пар (x, y) ∈ R
2
чисел x, y ∈ R таких, что x = y или
x ≤ y, или x
2
+ y
2
= 1, и т. д.
Определение 12. Бинарное отношение R, определенное
на множестве E, называется отношением эквивалентности,
если оно обладает следующими свойствами:
1) рефлексивность: (x, x) ∈ R при любом x ∈ E,
2) симметричность: если (x, y) ∈ R, то и (y, x) ∈ R,
30
                -s    -s      -s       -s   -s
                -2     -1      0       1    2


                            Рис. 18.

т. е. если множество X содержится в объединении семейства
(Ai ).
   Пример. Семейство (Az )z∈Z интервалов Az = (z, z + 2)
покрывает числовую ось.
   Определение 11. Семейство (Ai )i∈I подмножеств множе-
ства E называется разбиением множества X ⊂ E, если вы-
полнены следующие условия:
   1) семейство (Ai ) покрывает X,
   2) (∀i ∈ I) : Ai 6= Ø (множества Ai не пусты),
                     T
   3) [i 6= j] ⇒ [Ai Aj = Ø] (множества Ai попарно не пере-
секаются).
   Пример. Семейство (Az )z∈Z , где Az = [z, z + 1), образует
разбиение числовой оси (рис. 18).

            3. Отношение эквивалентности.

   Бинарным отношением R на множестве E называется
подмножество произведения E × E, т. е. некоторое множество
R пар (x, y) элементов x, y из E :
                        R ⊂ E × E.
   Примеры бинарных отношений на числовой оси – множе-
ства пар (x, y) ∈ R2 чисел x, y ∈ R таких, что x = y или
x ≤ y, или x2 + y 2 = 1, и т. д.
   Определение 12. Бинарное отношение R, определенное
на множестве E, называется отношением эквивалентности,
если оно обладает следующими свойствами:
   1) рефлексивность: (x, x) ∈ R при любом x ∈ E,
   2) симметричность: если (x, y) ∈ R, то и (y, x) ∈ R,

                               30

Страницы