Элементы теории множеств. Аминова А.В. - 31 стр.

   3) транзитивность: если (x, y) ∈ R и (y, z) ∈ R, то
(x, z) ∈ R.
   Если (x, y) ∈ R, то говорят, что x эквивалентно y и пишут
           x ∼ y , или x ≡ y , или x ≡ y mod R
(x равно y или x конгруентно y по модулю R).
   Примеры.
   1◦ . E – множество прямых на плоскости. Две прямые счита-
ются эквивалентными, если они параллельны или совпадают.
   2◦ . Всякое разбиение (Ai )i∈I множества E задает отношение
эквивалентности:

                 x ∼ y, если (∃i ∈ I) : x, y ∈ Ai

(см. рис. 19).


                              x               E
                                       y

                              Ai


                             Рис. 19.

  3◦ . E – подмножество множества Z × Z, состоящее из всех
пар (p, q) с q 6= 0. Отношение эквивалентности определяется
формулой:

               (p, q) ∼ (p0 , q 0 ), если pq 0 − p0 q = 0.
                                                      −→
   4◦ . Пусть E – множество всех векторов AB на плоскости.
             −−→ −→                             −−→ −→
Отношение: A0 B 0 ∼ AB, если векторы A0 B 0 и AB параллель-
ны, одинаковы направлены и имеют одинаковую длину, явля-
ется отношением эквивалентности в E.


                                  31