Элементы теории множеств. Аминова А.В. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

5
◦
. В множестве E всех векторов
−→
AB на плоскости опре-
делим еще одно отношение эквивалентности, положив
−−→
A
0
B
0
∼
−→
AB, если векторы
−−→
A
0
B
0
и
−→
AB лежат на одной прямой, одина-
ковы направлены и имеют одинаковую длину.
Определение 13. Классом эквивалентности ˙x в E по
отношению эквивалентности R называется часть множества
E, образованная из всех элементов этого множества, эквива-
лентных некоторому заданному элементу x:
˙x = {y ∈ E | y ∼ x}.
Предложение 1. Любые два элемента y и z, принадле-
жащие одному и тому же классу эквивалентности ˙x в E по
отношению R, эквивалентны между собой, т. е. если y ∈ ˙x и
z ∈ ˙x, то y ∼ z.
Доказательство. y ∈ ˙x означает, что y ∼ x. Из соотно-
шения z ∈ ˙x следует, что z ∼ x, отсюда в силу симметрично-
сти отношения эквивалентности получим x ∼ z. Но тогда по
свойству транзитивности имеем:
(y ∼ x) ∧ (x ∼ z) ⇒ y ∼ z,
ч. т. д.
Предложение 2. Любые два класса эквивалентности в E
по отношению R либо совпадают, либо не пересекаются:
˙x = ˙y
∨
˙x ∩ ˙y = Ø.
Доказательство: Пусть один и тот же элемент z при-
надлежит двум классам эквивалентности ˙x и ˙y. Это означает,
что z ∼ x и z ∼ y. По свойствам транзитивности и симмет-
ричности для любого элемента
t
∈
˙
x
имеем
((t ∼ x) ∧ (x ∼ z) ∧ (z ∼ y)) ⇒ (t ∼ y),
следовательно, t ∈ ˙y, т. е. ˙x ⊂ ˙y. Так же доказывается, что
˙y ⊂ ˙x, поэтому ˙x = ˙y , ч. т. д.
32
                                    −→
   5◦ . В множестве E всех векторов AB на плоскости опре-
                                                   −−→
делим еще одно отношение эквивалентности, положив A0 B 0 ∼
−→                 −−→ −→
AB, если векторы A0 B 0 и AB лежат на одной прямой, одина-
ковы направлены и имеют одинаковую длину.
   Определение 13. Классом эквивалентности ẋ в E по
отношению эквивалентности R называется часть множества
E, образованная из всех элементов этого множества, эквива-
лентных некоторому заданному элементу x:
                    ẋ = {y ∈ E | y ∼ x}.
   Предложение 1. Любые два элемента y и z, принадле-
жащие одному и тому же классу эквивалентности ẋ в E по
отношению R, эквивалентны между собой, т. е. если y ∈ ẋ и
z ∈ ẋ, то y ∼ z.
   Доказательство. y ∈ ẋ означает, что y ∼ x. Из соотно-
шения z ∈ ẋ следует, что z ∼ x, отсюда в силу симметрично-
сти отношения эквивалентности получим x ∼ z. Но тогда по
свойству транзитивности имеем:
                (y ∼ x) ∧ (x ∼ z) ⇒ y ∼ z,
ч. т. д.
   Предложение 2. Любые два класса эквивалентности в E
по отношению R либо совпадают, либо не пересекаются:
                    ẋ = ẏ ∨ ẋ ∩ ẏ = Ø.
  Доказательство: Пусть один и тот же элемент z при-
надлежит двум классам эквивалентности ẋ и ẏ. Это означает,
что z ∼ x и z ∼ y. По свойствам транзитивности и симмет-
ричности для любого элемента t ∈ ẋ имеем
           ((t ∼ x) ∧ (x ∼ z) ∧ (z ∼ y)) ⇒ (t ∼ y),
следовательно, t ∈ ẏ, т. е. ẋ ⊂ ẏ. Так же доказывается, что
ẏ ⊂ ẋ, поэтому ẋ = ẏ, ч. т. д.

                              32

Страницы