Основы современной квантовой химии. Аминова Р.М. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

∫∫ ∫
−
ΨΨ=
/2
3
41
1
*
1
33
sin
∫∫
∞∞
−
==
0
2
00 0
/2
3
0
0
0
π
π
π
θϕ
ddrerdv
a
ar
θ
drerdrr
ќ
ar
a
ss
Используя формулу для интеграла вида
∫
∞
+
0
1
k
a
получим для среднего расстояния электрона от ядра в основном состоянии
атома водорода знач
−
=
!
axk
k
dxex
, (1.28)
ение, равное полутора радиусам первой боровской
орбиты
ra
o
=
3
2
.
Cравним это значение с наиболее вероятным положением электрона в
е между значениями атоме. Вероятность нахождения электрона в пространств
r и (r+dr) составляет
∫∫
=Ψ
π
π
ϕϑϑϕϑ
0 0
nlm
2
2
2
sin),,( ddrdrr
Плотность вероятности нахождения электрона от ядра на расстоянии r в
[] [ ]
∫∫
==
π
π
ϕϑϑϕϑ
0 0
2
2
2
sin),()( ddYdrrrR
lmnl
2
[]
drrrR
nl
2
2
)(= (1.29)
основном 1s- состоянии равна
[]
o
ar /2
22
2
1
−
o
nl
er
a
rrRrP
3
)()(
==
(1.30)
Максимальное значение этой функции, соответствующее наиболее
вероятному положению электрона, может быть найдено из экстремума
0
22)(
/2
2
/2 −− arar
rrrdP
43
=−=
oo
oo
e
a
e
a
dr
; r
вер
=a
o (1.31) 
                                   ∞                    2π π                      ∞
                                       3 − 2 r / a0                                 3 − 2 r / aќ
   r=   ∫ Ψ1s rΨ1s dv
           *
                        =    1
                                    ∫r e              dr ∫ ∫ sin θdϕdθ =     4
                                                                                  ∫r e           dr
                            πa03                                            a03
                                   0                    0 0                       0



Используя формулу для интеграла вида
                                ∞                       k!
                                      k − ax
                                   ∫ x e dx =                   ,                            (1.28)
                                0                      a k +1
получим для среднего расстояния электрона от ядра в основном состоянии
атома водорода значение, равное полутора радиусам первой боровской
орбиты r = 23 a o .

       Cравним это значение с наиболее вероятным положением электрона в
атоме. Вероятность нахождения электрона в пространстве между значениями
r и (r+dr) составляет
π 2π
                            2
∫ ∫ Ψnlm (r ,ϑ ,ϕ ) r sin ϑdrdϑdϕ =
                     2
0 0
                  π 2π
= [Rnl ( r )] r dr ∫ ∫ [Ylm (ϑ ,ϕ )]2 sin ϑdϑdϕ =
             2 2
                   0 0

= [Rnl (r )]2 r 2dr                                                                           (1.29)
Плотность вероятности нахождения электрона от ядра на расстоянии r в
основном 1s- состоянии равна
                                                        1 2 − 2 r / ao
                P (r ) = [Rnl (r )]2 r 2 =                 r e                               (1.30)
                                                         3
                                                       ao
Максимальное          значение         этой      функции,           соответствующее        наиболее
вероятному положению электрона, может быть найдено из экстремума

       dP(r )     2r − 2 r / ao 2r 2 − 2 r / ao
              =      e         −    e           = 0;                          rвер=ao         (1.31)
        dr         3              4
                  ao             ao

Страницы