Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

a) − 10; b) − 1; c)
1 ± i
√
2
; d) − 2 + 3i.
[ a) ln 10 + (2k + 1)π i; b) (2k + 1)π i; c) (2k ±
1
4
)π i,
d)
1
2
ln 13 +
³
(2k + 1)π − arctg
3
2
´
i].
z,
| z − 2 + 2i | = 1; [ (2 −
√
2
2
)(1 −i) ].
a
z,
¯
¯
¯z − i
√
2
¯
¯
¯= (a + 1)
2
,
¯
¯
¯z −
√
2
¯
¯
¯> a
2
−4a. [ a >
1−
√
3
2
].
r a
n −
z
0
= a + r.
[ z
k
= a + re
2πki/n
, k = 1 , n − 1 ].
cos ϕ sin ϕ :
a) cos 3ϕ; b) sin 3ϕ; c) cos 4ϕ; d) sin 4ϕ.
[ a) cos
3
ϕ−3 cos ϕ·sin
2
ϕ; b) 3 cos
2
ϕ·sin ϕ−sin
3
ϕ; c) sin
4
ϕ−
6 sin
2
ϕ · cos
2
ϕ + cos
4
ϕ; d) sin
3
ϕ · cos ϕ − sin ϕ · cos
3
ϕ ].
z + 1/z = 2 cos θ, z
m
+ 1/z
m
=
= 2 cos mθ.
a) |z| = 1 − Rez;
b) z = z
0
+ αe
it
, 0 ≤ t ≤ 2π; c) z = ate
it
, 0 ≤ t < ∞;
d) z = t
2
+
i
/
t
2
, 0 < t < ∞.
                               1±i
a) − 10; b) − 1;          c)    √ ; d) − 2 + 3i.
                                 2
[ a) ln 10 + (2k + 1)π i; b) (2k + 1)π i; c) (2k ± 14 )π i,
                ³                    ´
     1
d)   2
         ln 13 + (2k + 1)π − arctg 32 i].
   34. Íàéòè íàèìåíüøåå ïî ìîäóëþ êîìïëåêñíîå ÷èñëî z,
                                                  √
óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ | z − 2 + 2i | = 1; [ (2 − 22 )(1 − i) ].
   35. Ïðè êàêèõ âåùåñòâåííûõ¯ a ëþáîå    êîìïëåêñíîå ÷èñëî
                              ¯    √ ¯¯
z, óäîâëåòâîðÿþùåå ðàâåíñòâó ¯z − i 2¯ = (a + 1)2 , óäîâëåòâî-
                              ¯   √ ¯¯                   √
                              ¯
ðÿåò îäíîâðåìåííî íåðàâåíñòâó ¯z − 2¯ > a2 − 4a. [ a > 1−2 3 ].
    36.  êðóã ðàäèóñà r ñ öåíòðîì â òî÷êå a âïèñàí ïðà-
âèëüíûé n − óãîëüíèê, îäíà èç âåðøèí êîòîðîãî - â òî÷êå
z0 = a + r. Íàéòè îñòàëüíûå âåðøèíû.
[ zk = a + re2πki/n , k = 1, n − 1 ].
    37. Âûðàçèòü ÷åðåç cos ϕ è sin ϕ :
a) cos 3ϕ; b) sin 3ϕ; c) cos 4ϕ; d) sin 4ϕ.
[ a) cos3 ϕ−3 cos ϕ·sin2 ϕ; b) 3 cos2 ϕ·sin ϕ−sin3 ϕ; c) sin4 ϕ−
6 sin2 ϕ · cos2 ϕ + cos4 ϕ; d) sin3 ϕ · cos ϕ − sin ϕ · cos3 ϕ ].
   38. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè z + 1/z = 2 cos θ, òî z m + 1/z m =
= 2 cos mθ.
    39. Îïðåäåëèòü êðèâûå è íà÷åðòèòü èõ: a) |z| = 1 − Rez;
b) z = z0 + αeit , 0 ≤ t ≤ 2π; c) z = ateit , 0 ≤ t < ∞;
d) z = t2 + i/t2 , 0 < t < ∞.
[ a) ïàðàáîëà; b) îêðóæíîñòü; c) ñïèðàëü Àðõèìåäà; d) îäíà
âåòâü ãèïåðáîëû ].




                                    31

Страницы