Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

{x
n
}
∃ M > 0 ∀n : | x
n
| ≤ M.
{x
n
}
∀ M > 0 ∃ n : | x
n
| > M.
a {x
n
},
∀ ε > 0 ∃ n
ε
∈ N ∀ n > n
ε
: |x
n
− a| < ε.
lim
n→∞
x
n
= a.
a
{x
n
}, ε−
a
{x
n
}.
{x
n
},
lim
n→∞
x
n
( lim
n→∞
x
n
).
lim
n→∞
x
n
= +∞, (x
n
> M, ∀n > n
0
), ( lim
n→∞
x
n
= −∞) (x
n
< −M, M > 0,
∀ n > n
0
).
    2. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííîé, åñëè
∃ M > 0 òàêîå, ÷òî ∀n : | xn | ≤ M.
    3. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } íàçûâàåòñÿ íåîãðàíè÷åííîé,
åñëè ∀ M > 0 ∃ n : | xn | > M.
    4. ×èñëî a íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn },
åñëè äëÿ ∀ ε > 0 ∃ nε ∈ N òàêîå, ÷òî ∀ n > nε : |xn − a| < ε.
Ïðè ýòîì ïèøóò lim xn = a.
                  n→∞
    5. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, èìåþùàÿ ïðåäåë, íàçûâàåòñÿ ñõîäÿ-
ùåéñÿ , à ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, íå èìåþùàÿ ïðåäåëà - ðàñõîäÿ-
ùåéñÿ .
    Ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò òîëüêî îäèí ïðåäåë.
    6.×èñëî a íàçûâàåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé ( èëè ÷àñòè÷-
íûì ïðåäåëîì ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }, åñëè â ëþáîé ε−
îêðåñòíîñòè òî÷êè a ñîäåðæèòñÿ áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ÷ëåíîâ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }.
    7. Íàèáîëüøàÿ ( íàèìåíüøàÿ ) ïðåäåëüíàÿ òî÷êà {xn },
îãðàíè÷åííàÿ ñâåðõó (ñíèçó), íàçûâàåòñÿ âåðõíèì (íèæíèì) ïðå-
äåëîì ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì lim xn
                                                       n→∞
( lim xn ).
 n→∞
    Î÷åâèäíî, ÷òî áåñêîíå÷íî áîëüøàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íå
ìîæåò èìåòü êîíå÷íîé ïðåäåëüíîé òî÷êè.  ýòîì ñëó÷àå lim xn
                                                      n→∞
= +∞, (xn > M, ∀n > n0 ), ( lim xn = −∞) (xn < −M, M > 0,
                            n→∞
∀ n > n0 ).
   Á. Êîíòðîëüíûå âîïðîñû è çàäàíèÿ.
   1. Ñôîðìóëèðóéòå îïðåäåëåíèÿ: à) îãðàíè÷åííîé ñâåðõó, á)
îãðàíè÷åííîé ñíèçó, â) íåîãðàíè÷åííîé, ã) îãðàíè÷åííîé ïî-
ñëåäîâàòåëüíîñòè. Äàéòå ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ýòèõ


                             33

Страницы