Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

lim
n→∞
x
n
= a lim
n→∞
x
n+1
= a.
{x
n
}, x
n
= (−1)
n
,
{x
n
}
x
n
= n
(−1)
n
n,
∀ M > 0, x
2n
> M, n >
M
/
2
.
{x
n
}
lim
n→∞
n+1
n
= 1.
∀ ε > 0 (
n+1
n
− 1) =
1
n
< ε ∀ n > n
ε
=
[
1
ε
]. ε n
ε
∈ N.
ε = 0, 1; 0, 01; 0, 001; ... n
ε
=
áåñêîíå÷íîñòè. Âåðíî ëè ýòî? Ïðèâåñòè ïðèìåð.
   14. ßâëÿåòñÿ ëè ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè å¼ ïðåäåëüíîé
òî÷êîé? Îòâåò îáîñíóéòå.
   15. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò åäèíñòâåííóþ ïðåäåëü-
íóþ òî÷êó, òî îíà ñõîäèòñÿ. Âåðíî ëè ýòî?
   16. Âñÿêàÿ ëè îãðàíè÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò åäèí-
ñòâåííóþ ïðåäåëüíóþ òî÷êó? Îòâåò îáîñíóéòå ïðèìåðàìè.
   17. Ïîêàæèòå, ÷òî åñëè lim xn = a òî lim xn+1 = a.
                           n→∞             n→∞

   Â. Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷.
   Ïðèìåð 18. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn }, ãäå xn = (−1)n ,
îãðàíè÷åíà, òàê êàê âñå ÷ëåíû íå ìîãóò áûòü ìåíüøå -1 è áîëü-
øå 1. Íî îíà íå èìååò ïðåäåëà, ò.å. íå ñõîäèòñÿ.
    Ïðèìåð 19. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } ñ îáùèì ÷ëåíîì
           n
xn = n(−1) îãðàíè÷åíà ñíèçó, íå îãðàíè÷åíà ñâåðõó, ðàñõîäÿ-
ùàÿñÿ.
    Ðåøåíèå. Äåéñòâèòåëüíî, ó óêàçàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
1, 2, 1/3, 4, 1/5, 6, 1/7 ... âñå ÷ëåíû ïîëîæèòåëüíû, ÷ëåíû ñ
íå÷åòíûìè èíäåêñàìè óáûâàþò ïðè óâåëè÷åíèè n, à ÷ëå-
íû ñ ÷åòíûìè èíäåêñàìè íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàþò, ò.å. äëÿ
∀ M > 0, x2n > M, åñëè n > M/2 . Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
{xn } îãðàíè÷åíà ñíèçó íóëåì, íåîãðàíè÷åíà ñâåðõó. Íåîáõî-
äèìîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè íå èìååò ìåñòà. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ðàñõîäèòñÿ.
    Ïðèìåð 20. Ïîêàçàòü, ÷òî lim n+1
                                 n→∞   n
                                          = 1.
   Ðåøåíèå. Äëÿ ∀ ε > 0     ( n+1
                               n
                                   − 1) = n1 < ε äëÿ ∀ n > nε =
[ 1ε ]. Äëÿ ðàçëè÷íûõ ε ïîëó÷èì ðàçëè÷íûå íîìåðà nε ∈ N.
Äëÿ ε = 0, 1; 0, 01; 0, 001; ... ñîîòâåòñòâåííî ïîëó÷èì nε =

                              35

Страницы