Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

<
2n
/
n(n − 1)s
2
=
2
/
(n − 1)s
2
→ 0 n → ∞.
lim
n→∞
1
.
n
√
n!
= 0.
n! > (
n
3
)
n
. n = 1
n = k k! > (
k
3
)
k
(k + 1) : k!(k + 1) > (
k
3
)
k
(k + 1),
(k + 1)! > (
k
3
)(k + 1) = (
k+1
3
)
k+1
·
3
(1+1/k)
k
> (
k+1
3
)
k+1
,
(1 +
1
k
)
k
< 3
n! > (
n
3
)
n
∀n ∈ N.
1
/
n!
<
1
.
n
q
(n/3)
n
=
3
/
n
< ε ∀n > n
ε
= [
3
ε
].
{x
n
} lim
n→∞
x
n
lim
n→∞
x
n
x
n
=
(−1)
n
n
+
1+(−1)
n
2
.
x
1
=
−
1
1
, x
2
=
1
2
+ 1, x
3
= −
1
3
, x
4
=
1
4
+ 1, x
5
= −
1
5
, ...
−1, −
1
3
, −
1
5
, −
1
7
, ...
{
1
2k
+ 1},
1 a = 1
lim
n→∞
x
n
= 0, lim
n→∞
x
n
= 1.
{x
n
}
< 2n/n(n − 1)s2 = 2/(n − 1)s2 → 0 ïðè n → ∞.
                                      .
                                       √
   Ïðèìåð 25. Ïîêàçàòü, ÷òî n→∞  lim 1 n n! = 0.
   Ðåøåíèå. Ïîêàæåì ñíà÷àëà (ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èí-
äóêöèè), ÷òî n! > ( n3 )n . Ïðè n = 1 íåðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ.
Ïóñòü ïðè n = k èìååò ìåñòî k! > ( k3 )k Îáå ÷àñòè ýòîãî
íåðàâåíñòâà óìíîæèì íà (k + 1) : k!(k + 1) > ( k3 )k (k + 1),
èëè (k + 1)! > ( k3 )(k + 1) = ( k+1
                                   3
                                                3
                                     )k+1 · (1+1/k)     k+1 k+1
                                                   k > ( 3 )    ,
           1 k
ò.ê. (1 + k ) < 3 (äîêàçàòü ñàìîñòîÿòåëüíî). Ñëåäîâàòåëü-
íî, n!.> ( n3 )n ñïðàâåäëèâî ïðè ∀n ∈ N. . Äàëåå èìååì
1/ < 1 q          3                           3
  n!    n
          (n/3)n = /n < ε ïðè ∀n > nε = [ ε ].
   Ïðèìåð 26. Äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } íàéòè n→∞
                                                  lim xn
                            n          n
è lim xn åñëè xn = (−1)  n
                                + 1+(−1)
                                     2
                                         .
   n→∞
     Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ÷ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè: x1 =
− 1 , x2 = 12 + 1, x3 = − 13 , x4 = 14 + 1, x5 = − 51 , ... Îòñþäà âèä-
  1

íî, ÷òî ÷ëåíû ñ íå÷åòíûìè èíäåêñàìè îáðàçóþò ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòü −1, − 13 , − 15 , − 71 , ... ÷ëåíû êîòîðîé âñå îòðèöàòåëüíû,
â ëþáîé ëåâîé îêðåñòíîñòè íóëÿ ñîäåðæèòñÿ áåñêîíå÷íîå ÷èñëî
ýòîé ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè, îòñþäà íóëü ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé
òî÷êîé.
     Äàëåå ðàññìîòðèì ÷ëåíû ñ ÷åòíûìè èíäåêñàìè. Îíè îáðà-
                                       1
çóþò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü { 2k          + 1}, , êîòîðàÿ ñõîäèòñÿ ê
1 . Ñëåäîâàòåëüíî, a = 1 òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé.
Îòñþäà lim xn = 0, lim xn = 1.
          n→∞             n→∞

   Ã. Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé
ðàáîòû.
   1. Äàíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } ñ îáùèìè ÷ëåíàìè:


                                  37

Страницы