Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

10, 100, 1000, ...
n = 11 ε −
ε = 0, 1
x
101
− ”0, 01”
x
1001
− ”0, 001”
n
ε
∈ N
ε > 0.
x
n
=
sin n
n
. lim
n→∞
sin n
n
= 0.
¯
¯
¯
sin n
n
− 0
¯
¯
¯≤
1
n
< ε n > n
ε
=
[
1
/
ε
].
ε − n
ε
lim
n→∞
1
n!
= 0.
¯
¯
¯
1
n!
− 0
¯
¯
¯=
1
n!
=
1
1·2·3·...·n
≤
1
1·2·2·...·2
=
=
1
2
n−1
< ε. 1 < 2
n−1
·ε,
1
/
ε
< 2
n−1
.
log
2
(
1
/
ε
) < n − 1,
n > 1 + log
2
(
1
/
ε
). n
ε
= [1 + log
2
(
1
/
ε
)].
lim
n→∞
2
n
n!
= 0.
n! = 1 · 2 · 3 · ... · n.
2
n
n!
=
2
1
·
2
2
·
2
3
· ... ·
2
n
< 2 · (
2
3
)
n−2
=
9
2
· (
2
3
)
n
< ε.
(
2
3
)
n
<
2
9
ε.
n lg(
2
9
) > lg(
2
9
· ε). n > lg(
2
9
· ε) · lg
−1
(
2
3
).
lim
n→∞
n · q
n
= 0, |q| < 1.
|n · q
n
| =
n
.
¯
¯
¯
1
q
¯
¯
¯
n
=
n
/
b
n
, b ≡
¯
¯
¯
1
/
q
¯
¯
¯ > 1.
n
/
b
n
=
n
/
(1 + s)
n
, s > 0.
n
/
b
n
=
n
/
(1 + s)
n
=
n
/
(1 + s · n + s
2
· n(n − 1)/2! + ... + s
n
)
<
10, 100, 1000, ... Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ïåðâîì ñëó÷àå ýëåìåíòû
ñ èíäåêñîì n = 11 è âûøå ïîïàäàþò â ε − îêðåñòíîñòü
( ε = 0, 1 ) òî÷êè 1, âî âòîðîì ñëó÷àå âñå ýëåìåíòû, íà÷èíàÿ ñ
x101 − â ”0, 01” - îêðåñòíîñòü òî÷êè 1, â òðåòüåì ñëó÷àå âñå
ýëåìåíòû, íà÷èíàÿ ñ x1001 − â ”0, 001” - îêðåñòíîñòü òî÷êè 1
è ò.ä.  ýòîì ïðèìåðå ÷åòêî âèäíà çàâèñèìîñòü íîìåðà nε ∈ N
îò ïðîèçâîëüíî çàäàííîãî ε > 0.
    Ïðèìåð 21. Ïóñòü xn = sinn n . Äîêàçàòü, ÷òî n→∞
                                                  lim sinn n = 0.
                                       ¯       ¯
                                       ¯ sin n ¯
    Ðåøåíèå. Â ñàìîì äåëå,             ¯ n − 0¯ ≤ n1 < ε ïðè n > nε =
[1/ε].
    Ïðèìåð 22. Íà ÿçûêå ε − nε äîêàçàòü, ÷òî n→∞
                                              lim n!1 = 0.
                                        ¯       ¯
    Ðåøåíèå. Äåéñòâèòåëüíî, ¯¯ n!1 − 0¯¯ =              1
                                                        n!
                                                             =       1
                                                                 1·2·3·...·n
                                                                               ≤       1
                                                                                   1·2·2·...·2
                                                                                                 =
=     1
       < ε. Îòñþäà 1 < 2n−1 ·ε, èëè 1/ε < 2n−1 . Ëîãàðèôìèðóÿ
    2n−1

îáå ÷àñòè ýòîãî íåðàâåíñòâà, èìååì log2 (1/ε) < n − 1, èëè
 n > 1 + log2 (1/ε). nε = [1 + log2 (1/ε)].
    Ïðèìåð 23. Äîêàçàòü, ÷òî n→∞
                                                    n
                              lim 2n! = 0.
    Ðåøåíèå. Ïî îïðåäåëåíèþ, n! = 1 · 2 · 3 · ... · n. Òîãäà
2n
n!
      = 12 · 22 · 23 · ... · n2 < 2 · ( 23 )n−2 = 29 · ( 23 )n < ε. Îòñþäà íàõîäèì
( 32 )n < 29 ε. Ëîãàðèôìèðóÿ îáå ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà, ïîëó÷èì
n lg( 92 ) > lg( 29 · ε). Èòàê, n > lg( 29 · ε) · lg−1 ( 23 ).
    Ïðèìåð 24.Äîêàçàòü, ÷òî n→∞
                             lim n · q n = 0, åñëè |q| < 1.
                                                        .¯ ¯n
    Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì |n · q n | = n                   ¯ 1 ¯ = n/ n ,
                                                         ¯q¯       b               ãäå b ≡
¯ ¯
¯1 ¯
¯ /q ¯ > 1. Äàëåå ïåðåïèøåì n/bn = n/(1 + s)n , ãäå s > 0.
Ïðèìåíÿÿ â çíàìåíàòåëå ôîðìóëó áèíîìà Íüþòîíà, ïîëó÷èì
n/ n = n/           n
  b      (1 + s)n = /(1 + s · n + s2 · n(n − 1)/2! + ... + sn ) <

                                        36

Страницы