Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

a) {x
n
+ y
n
}, {x
n
− y
n
},
{x
n
· y
n
} {x
n
} {y
n
} ?
a
{x
n
}.
a) lim
n→∞
x
n
= a; {x
n
} −
{x
n
}.
{x
n
} {y
n
}
a) {x
n
+ y
n
}, {x
n
− y
n
}, {x
n
· y
n
} ?
”ε − n
ε
”
a {x
n
}
îïðåäåëåíèé.
    2. Äàéòå ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ïðåäåëà ïîñëåäî-
âàòåëüíîñòè.
    3. Ñêîëüêî ïðåäåëîâ èìååò ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü?
    4. Ìîæåò ëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìåòü áåñêîíå÷íî ìíîãî ïî-
ëîæèòåëüíûõ (îòðèöàòåëüíûõ) ÷ëåíîâ, åñëè å¼ ïðåäåë: à) áîëü-
øå íóëÿ, á) ìåíüøå íóëÿ, â) ðàâåí íóëþ. Ïðèâåäèòå ïðèìåðû.
    5. Âñÿêàÿ ëè îãðàíè÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ?
Ïðèâåäèòå ïðèìåð.
    6. Ñëåäóåò ëè èç ñõîäèìîñòè a) {xn + yn }, á) {xn − yn },
â) {xn · yn } ñõîäèìîñòü {xn } è {yn } ? Ïðèâåäèòå ïðèìåðû.
    7. Ïóñòü â ëþáîé îêðåñòíîñòè òî÷êè a ëåæèò áåñêîíå÷íî
ìíîãî ÷ëåíîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }. Ñëåäóåò ëè îòñþäà,
÷òî: a) lim xn = a; á) {xn } − îãðàíè÷åíà?
         n→∞
    8. Ïóñòü èìåþòñÿ äâå ðàçëè÷íûå òî÷êè, â ëþáîé îêðåñòíîñòè
êîòîðûõ ñîäåðæèòñÿ áåñêîíå÷íî ìíîãî ÷ëåíîâ ïîñëåäîâàòåëüíî-
ñòè {xn }. Ñõîäèòñÿ ëè ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü?
    9. Ñëåäóåò ëè èç ðàñõîäèìîñòè {xn } è {yn } ðàñõîäèìîñòü
a) {xn + yn }, á) {xn − yn }, â) {xn · yn } ? Ïðèâåñòè ïðèìåðû.
    10. Íàðóøèòñÿ ëè ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, åñëè à)
äîáàâèòü, á) óäàëèòü, â) èçìåíèòü ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì êî-
íå÷íîå ÷èñëî ÷ëåíîâ ?
    11. ×òî ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ñõîäèìîñòè ïîñëå-
äîâàòåëüíîñòè ?
    12. Ñôîðìóëèðóéòå íà ÿçûêå ”ε − nε ” îïðåäåëåíèå òîãî,
÷òî ÷èñëî a íå ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }
è äàéòå ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ýòîãî îïðåäåëåíèÿ.
    13. Âñÿêàÿ íåîãðàíè÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñòðåìèòñÿ ê

                              34

Страницы