Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

{x
n
}
ε > 0 ∃ n
ε
∀n > n
ε
∀p ∈ N
|x
n+p
− x
n
| < ε.
∀n > n
ε
∀m > n
ε
|x
m
− x
n
| < ε.
{x
n
}, x
n
=
n
P
k=1
cos(k!)
k(k+1)
.
|x
n+p
− x
n
|. |x
n+p
− x
n
| =
=
¯
¯
¯
¯
¯
n+p
P
k=n+1
cos(k!)
k(k+1)
¯
¯
¯
¯
¯
≤
1
(n+1)(n+2)
+
1
(n+2)(n+3)
+ ... +
1
(n+p)(n+p+1)
=
= (
1
n+1
−
1
n+2
) + (
1
n+2
−
1
n+3
) + ...(
1
n+p
−
1
n+p+1
) =
1
n+1
−
1
n+p+1
<
<
1
n+1
< ε.
n > n
ε
= [
1
ε
−1 ]
{x
n
}, x
n
=
n
P
k=1
1
k
.
                          3.2. Êðèòåðèé Êîøè.

    À. Îñíîâíàÿ òåîðåìà.
   Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } ñõîäèëàñü, íåîá-
õîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ε > 0 ∃ nε òàêîå, ÷òî
äëÿ ∀n > nε è äëÿ ∀p ∈ N âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî
|xn+p − xn | < ε.
   Âòîðóþ ïîëîâèíó ýòîé òåîðåìû ìîæíî çàìåíèòü : "...÷òî äëÿ
∀n > nε è ∀m > nε âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî |xm − xn | < ε. "
    Á. Êîíòðîëüíûå çàäàíèÿ.
   1. Ñôîðìóëèðóéòå êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòè.
   2. Äàéòå ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ýòîé òåîðåìû.
    Â. Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷.
    Ïðèìåð 27. Ïîëüçóÿñü êðèòåðèåì Êîøè, äîêàçàòü ñõîäè-
                                                             n
                                                             P cos(k!)
ìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }, ãäå xn =                           k(k+1)
                                                                            .
                                                             k=1

    Ðåøåíèå. Îöåíèì |xn+p − xn | . Èìååì |xn+p − xn | =
 ¯             ¯
 ¯ n+p         ¯
 ¯ P cos(k!) ¯         1            1                    1
=¯             ¯ ≤ (n+1)(n+2) + (n+2)(n+3) + ... + (n+p)(n+p+1) =
 ¯k=n+1 k(k+1) ¯
     1        1           1       1              1        1            1          1
= ( n+1 −    n+2
                 )   + ( n+2 −   n+3
                                     )   + ...( n+p −   n+p+1
                                                              )   =   n+1
                                                                            −   n+p+1
                                                                                        <
     1
<   n+1
          < ε.
   Îòñþäà, ïðè n > nε = [ 1ε −1 ] êðèòåðèé Êîøè âûïîëíÿåòñÿ.
Ñëåäîâàòåëüíî, äàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ.
    Ïðèìåð 28. Ïîëüçóÿñü êðèòåðèåì Êîøè, äîêàçàòü ðàñõî-
                                                                      n
                                                                      P 1
äèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }, åñëè xn =                             k
                                                                          .
                                                                   k=1




                                           39

Страницы