Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

lim
n→∞
x
n
= sup{x
n
} ( lim
n→∞
x
n
= inf{x
n
}).
{x
n
} ∀ε > 0 ∃ n
ε
∀ n > n
ε
: |x
n
| < ε lim
n→∞
x
n
= 0
{x
n
}
∀ M > 0 ∃ N
M
∀n > N
M
: |x
n
| > M,
lim
n→∞
x
n
= ∞
{x
n
}
x
n
= (1 +
1
n
)
n
. lim
n→∞
(1 +
1
n
)
n
e ≈ 2, 7182818284590.
x
n
=
(−1)
n
n
+
1+(−1)
n
2
    Òåîðåìà 1. Âñÿêàÿ îãðàíè÷åííàÿ ñâåðõó (ñíèçó) ìîíîòîííî
âîçðàñòàþùàÿ (óáûâàþùàÿ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò ïðåäåë,
ïðè÷åì lim xn = sup{xn } ( lim xn = inf{xn }).
          n→∞                  n→∞
    2. {xn } íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé (á. ì.), åñëè ∀ε > 0 ∃ nε
òàêîå, ÷òî ∀ n > nε : |xn | < ε (ïèøóò lim xn = 0 ) .
                                       n→∞
    3. {xn } íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íî áîëüøîé (á. á.), åñëè äëÿ
∀ M > 0 ∃ NM òàêîå, ÷òî ∀n > NM : |xn | > M, (ïèøóò
 lim xn = ∞ ).
n→∞
    Òåîðåìà 2. Àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà êîíå÷íîãî ÷èñëà á.ì.ï. ÿâ-
ëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ.
    Òåîðåìà 3. Ïðîèçâåäåíèå á.ì.ï. íà îãðàíè÷åííóþ ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ á.ì.ï.
   Á. Êîíòðîëüíûå çàäàíèÿ.
    1. Äëÿ êàêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îãðàíè÷åííîñòü ÿâëÿåòñÿ
íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ñõîäèìîñòè?
    2. Äîêàæèòå ìîíîòîííîñòü è îãðàíè÷åííîñòü (ñíèçó ÷èñëîì
2, ñâåðõó - ÷èñëîì 3) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } ñ îáùèì ÷ëåíîì
xn = (1 + n1 )n . Òîãäà lim (1 + n1 )n ñóùåñòâóåò è ñîâïàäàåò ñ
                        n→∞

÷èñëîì e ≈ 2, 7182818284590.
   3. Äàéòå ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ á.ì.ï. è á.á.ï.
   4. Ïóñòü áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ÷ëåíîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íà-
õîäèòñÿ: à) â ëþáîé îêðåñòíîñòè íóëÿ; á) âíå ëþáîé îêðåñòíî-
ñòè íóëÿ. Ñëåäóåò ëè èç ýòèõ óñëîâèé à) èëè á), ÷òî ïîñëåäî-
âàòåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ á.ì.?, á.á.?, îãðàíè÷åííîé?, íåîãðàíè÷åí-
íîé? Ñëåäóåò ëè èç ýòèõ óñëîâèé, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íå
                                                    n         n
ÿâëÿåòñÿ á.ì.?, á.á.? ( Ðàññìîòðåòü ïðèìåð xn = (−1)
                                                  n
                                                      + 1+(−1)
                                                           2
                                                                ).
   5. Êàêîâà ñâÿçü ìåæäó á.ì. è á.á. ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè?


                               41

Страницы