Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

|x
n+p
− x
n
|. |x
n+p
− x
n
| =
=
n+p
P
k=n+1
1
k
>
p
n+p
. ∀n, ∀p ∈
N. p = n |x
n+p
− x
n
| >
1
/
2
∀n ∈ N. ε
1
/
2
, ∀n
n = p, |x
n+p
− x
n
| > ε.
{x
n
},
a) x
n
= a
0
+ a
1
· q + a
2
· q
2
+ ... + a
n
· q
n
, |a
k
| < M,
(k = 0, 1, 2, ...) |q| < 1.
b) x
n
=
n
P
k=1
sin k
2
k
; c) x
n
=
n
P
k=1
1
k
2
; d) x
n
=
n
P
k=1
1
k!
.
{x
n
},
a) x
n
=
n
P
k=1
(−1)
n
; b) x
n
=
n
P
k=1
1
√
k
.
{x
n
}
∀n ∈ N
x
n
≤ x
n+1
(x
n
≥ x
n+1
).
x
n
    Ðåøåíèå. Îöåíèì |xn+p − xn | . Èìååì |xn+p − xn | =
     n+p
      P     1        p
=           k
                >   n+p
                        .   Ýòî íåðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî äëÿ ∀n, ∀p ∈
    k=n+1
N.  ÷àñòíîñòè, ïðè p = n èìååì |xn+p − xn | > 1/2 äëÿ
∀n ∈ N. Ïîýòîìó, åñëè â êà÷åñòâå ε âçÿòü 1/2, òî ïðè ∀n
è n = p, èìååì: |xn+p − xn | > ε. Ýòî äîêàçûâàåò, ÷òî íàøà
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàñõîäèòñÿ.
  Ã. Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáî-
òû.
   1. Ïîëüçóÿñü êðèòåðèåì Êîøè, äîêàçàòü ñõîäèìîñòü ïîñëå-
äîâàòåëüíîñòè {xn }, åñëè:
   a) xn = a0 + a1 · q + a2 · q 2 + ... + an · q n , ãäå |ak | < M,
(k = 0, 1, 2, ...) è |q| < 1.
                    n
                    P                     n
                                          P                      n
                                                                 P
                      sin k                 1                      1
     b) xn =           2k
                            ;   c) xn =     k2
                                               ;       d) xn =     k!
                                                                      .
                    k=1                   k=1                    k=1
   2. Ïîëüçóÿñü êðèòåðèåì Êîøè, äîêàçàòü ðàñõîäèìîñòü ïî-
ñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }, åñëè:
                    n
                    P                       n
                                            P
     a) xn =              (−1)n ; b) xn =     √1 .
                                                   k
                    k=1                     k=1

    3.3. Ìîíîòîííûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Áåñêîíå÷íî
    ìàëûå è áåñêîíå÷íî áîëüøèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.

    À. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è òåîðåìû.
   1. {xn } íàçûâàåòñÿ ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé (óáûâàþùåé),
åñëè äëÿ ∀n ∈ N (èëè íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà) âûïîë-
íÿåòñÿ íåðàâåíñòâî xn ≤ xn+1 (xn ≥ xn+1 ). Ïðè ñòðîãîì
íåðàâåíñòâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn íàçûâàåòñÿ ñòðîãî ìîíî-
òîííîé.



                                          40

Страницы