Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1) lim
n→∞
x
n
= lim
n→∞
y
n
= 0; 2) lim
n→∞
x
n
= lim
n→∞
y
n
= ∞.
{
x
n
/
y
n
}, ∀ n y
n
6= 0,
{x
n
+ y
n
} − {x
n
} {y
n
}
{x
n
·y
n
}− {x
n
} {y
n
}
lim
x→∞
n
q
n
= 0, q > 1.
x
n
=
n
q
n
, x
n+1
=
n+1
q
n+1
=
n+1
nq
x
n
∀n ∈ N. lim
n→∞
n+1
nq
=
1
q
∃ n
0
, ∀ n > n
0
n+1
qn
< 1
1
q
< 1 n > n
0
x
n+1
< x
n
,
x
n
0
x
n
a − {x
n
}. x
n+1
=
n+1
nq
· x
n
a = lim
n→∞
x
n+1
= lim
n→∞
n+1
nq
· x
n
= lim
n→∞
n+1
nq
· lim
n→∞
x
n
=
1
q
· a, (1 −
1
q
)a = 0 a = 0.
lim
n→∞
(x
n
· y
n
) = lim
n→∞
(x
n
) · lim
n→∞
(y
n
),
{x
n
} {y
n
}
lim
n→∞
n!
2
n
= ∞.
{
2
n
/
n!
}
   6. Êàêîâà ñâÿçü ìåæäó íåîãðàíè÷åííîé è á.á.ï.?
   7. Ïóñòü 1) lim xn = lim yn = 0; 2) lim xn = lim yn = ∞.
               n→∞          n→∞          n→∞       n→∞

Ìîæåò ëè {xn/yn }, ãäå äëÿ ∀ n yn 6= 0, áûòü á.á.?, á.ì.?,
ñõîäÿùåéñÿ?, ðàñõîäÿùåéñÿ, íî íå á.á.? Îòâåòû îáîñíîâàòü ïðè-
ìåðàìè.
   8. Åñëè {xn + yn } − á.ì.ï., òî {xn } è {yn } òàêæå á.ì..
Âñåãäà ëè âåðíî ýòî óòâåðæäåíèå? Îòâåò îáîñíóéòå ïðèìåðàìè.
   9. Ïóñòü {xn · yn }− á.ì.ï.. ×òî ìîæíî ñêàçàòü î {xn } è {yn }?
   Â. Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷.
   Ïðèìåð 29. Äîêàçàòü, ÷òî x→∞
                             lim qnn = 0, åñëè q > 1.
   Ðåøåíèå. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè xn =        n
                                             òî xn+1 = qn+1
                                            qn
                                               ,            n+1 =
n+1
 nq
      xn äëÿ ∀n ∈ N. Ïîñêîëüêó          lim n+1
                                              = 1q (äîêàæèòå
                                       n→∞ nq
ñàìîñòîÿòåëüíî), òî ∃ n0 , ÷òî ïðè ∀ n > n0 n+1   qn
                                                      < 1 (ò.ê.
1
q
  < 1 ). Òàêèì îáðàçîì, ïðè n > n0 áóäåì èìåòü xn+1 < xn ,
ò.å. ïîñëå ÷ëåíà xn0 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn ìîíîòîííî óáûâà-
åò. ×ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïîëîæèòåëüíû, îíà îãðàíè÷åíà
ñíèçó. Çíà÷èò, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò ïðåäåë.
    Ïóñòü a − ïðåäåë {xn }. Èç ñîîòíîøåíèÿ xn+1 = n+1    nq
                                                             · xn
                                n+1            n+1
ñëåäóåò a = lim xn+1 = lim nq · xn = lim nq · lim xn =
               n→∞         n→∞            n→∞         n→∞
1
q
  · a, îòêóäà ñëåäóåò (1 − 1q )a = 0 è a = 0. ( Çäåñü ìû
âîñïîëüçîâàëèñü ñâîéñòâîì lim (xn · yn ) = lim (xn ) · lim (yn ),
                            n→∞            n→∞         n→∞
åñëè ïðåäåëû ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé {xn } è {yn } ñóùåñòâóþò.
(Ýòî ñâîéñòâî áóäåò ðàññìîòðåíî íèæå).
   Ïðèìåð 30. Äîêàçàòü, ÷òî n→∞
                             lim 2n!n = ∞.
   Ðåøåíèå. Âûøå (ñì. ï.Â, ïðèìåð 23 ) ìû ïîêàçàëè, ÷òî
                        n
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {2 /n!} ñõîäèòñÿ ê íóëþ, ò.å. îíà á.ì.. À

                                  42

Страницы