Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

a) x
n
= (1 −
1
2
2
) · (1 −
1
3
2
) · ... · (1 −
1
n
2
);
b) x
n
= (1 −
1
3
) ·(1 −
1
6
) ·... ·(1 −
1
n(n+1)
2
). [ a)
1
/
2
; b)
1
/
3
].
lim
n→∞
x
n
= a, lim
n→∞
x
n
= b, a) lim
n→∞
(x
n
± y
n
) =
a ± b; b) lim
n→∞
(x
n
· y
n
) = a · b, b 6= 0,
{
x
n
y
n
}
lim
n→∞
x
n
y
n
=
a
b
.
lim
n→∞
x
n
= 0, lim
n→∞
y
n
= 0, lim
n→∞
x
n
y
n
(
0
/
0
).
(0 · ∞), (∞ − ∞).
lim
n→∞
x
n
= a, ∀ n > n
0
x
n
≥ b (x
n
≤ b),
a ≥ b (a ≤ b).
lim
n→∞
x
n
= a, lim
n→∞
x
n
= b,
x
n
≤ z
n
≤ y
n
, lim
n→∞
z
n
= a.
{x
n
+ y
n
}
{x
n
} {y
n
}
{x
n
} a
n
0
, x
n
=
a + α
n
, {α
n
} −
   7. Äîêàçàòü ìîíîòîííîñòü, îãðàíè÷åííîñòü è íàéòè ïðåäåë:
    a) xn = (1 − 212 ) · (1 − 312 ) · ... · (1 − n12 );
    b) xn = (1 − 13 ) · (1 − 16 ) · ... · (1 − n(n+1)
                                                  1
                                                      ). [ a) 1/2 ; b) 1/3 ].
                                             2


      3.4. Ñâîéñòâà ñõîäÿùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.

   À. Îñíîâíûå òåîðåìû.
    1. Åñëè lim xn = a, lim xn = b, òî a) a) lim (xn ± yn ) =
                 n→∞             n→∞                  n→∞
a ± b; b) n→∞     lim (xn · yn ) = a · b, c) åñëè b 6= 0, òî íà÷èíàÿ
ñ íåêîòîðîãî íîìåðà îïðåäåëåíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { xynn } è
 lim xynn = ab .
n→∞

   Åñëè     lim xn = 0,lim yn = 0, òî lim xynn íàçûâàåò-
           n→∞                n→∞        n→∞
ñÿ íåîïðåäåëåííîñòüþ òèïà (0/0). Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ
íåîïðåäåëåííîñòè òèïà (0 · ∞), (∞ − ∞). Äëÿ òàêèõ íåîïðå-
äåëåííîñòåé ñôîðìóëèðîâàííàÿ âûøå òåîðåìà íå èìååò ìåñòà.
   2. Åñëè lim xn = a, è ∀ n > n0 xn ≥ b (xn ≤ b), òî
            n→∞
a ≥ b (a ≤ b).
   3. Åñëè lim xn = a, lim xn = b, è íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî
            n→∞         n→∞
íîìåðà âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà xn ≤ zn ≤ yn , òî lim zn = a.
                                                 n→∞

   Á. Êîíòðîëüíûå âîïðîñû è çàäàíèÿ.
   1. Êàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàçûâàåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ ?
   2. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn + yn } ñõîäèòñÿ. Ñëåäóåò
ëè îòñþäà ñõîäèìîñòü {xn } è {yn } ?
   3. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ñõîäèìîñòè {xn } ê ÷èñëó a íåîáõîäè-
ìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà n0 , xn =
a + αn , ãäå {αn } − á. ì. ï..



                                    44

Страницы