Методы оптимального проектирования: Текст лекций. Андронов С.А. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

54
строится с помощью процедуры Грамма–Шмидта (построение ортонор-
мированного базиса).
Следует отметить, что при наличии многомерных оврагов эффек-
тивность метода теряется, поскольку целенаправленно изменяется ори-
ентация одной оси в процессе движения по дну оврага.
Недостатком метода является невозможность продолжения оптими-
зации, если в качестве начальной точки выбрана “точка заклинивания”
(рис. 13, а). Если процесс попадает в точку А, тогда ни в одной из
ближайших точек В, В, С, С не происходит уменьшение функции.
Метод обобщенного покоординатного спуска
Прежде всего отметим, что овражные функционалы отличает нали-
чие нескольких изолированных групп собственных значений матрицы
Гесс е I''(x). Для овражного функционала I(х) выполняется следующее
правило: для любого х из множества D для собственных чисел I''(х)
имеем,
11
,..., | | ,..., |
nr nr n
−−+
λ≥ ≥λ >>λ ≥ ≥λ
, где r – число малых собствен-
ных значений (определяет размерность дна оврага).
Основной процедурой является приведение I''(х) к главным осям квад-
ратичной формы, т. е. диагонализация I'' с последующим покоординат-
ным спуском вдоль собственных векторов матрицы I''. Направления,
определяемые этими векторами совпадают с осями наилучшей системы
координат при минимизации квадратичных функционалов (независи-
мо от их выпуклости).
В процессе работы алгоритма новые оси (соответствующие собствен-
ным векторам I'') вычисляются по каждой группе изолированных соб-
ственных значений. Переход к новым осям осуществляется, когда ста-
рые оси “исчерпали себя”, т. е. вслед за успешным продвижением пос-
ледовала неудача – возрастание функции I(х). Обновление осей проис-
ходит после того, как по каждому координатному направлению после-
довала неудача.
Приведем алгоритм описанного метода
Шаг 1: ввод исходных данных: х
0
, S
0
(начальная точка и шаг), N
max
(максимальное число итераций), k = 0 – счетчик числа шагов
()
0
,( , 1,);
k
i
xi n==
x
x
S
(k)
= S
0
– начальный шаг для вычисления производных;
h
0
= S
0
– начальный шаг для координатного спуска.
Шаг 2: U=E, где Е – единичная матрица.

Страницы