Составители:
Рубрика:
58
носиться к используемым критериям качества решения. Речь идет о числе
обусловленности матрицы Гессе, которое может быть оценено следую-
щим образом :
а)
2
max ( )
1()cond () ,
min ( )
i
i
i
i
x
xfx
x
∆
λ
≤η = ∇ =
λ
если
2
() 0(тогда 0),
i
fx∇> λ>
где λ
i
– собственное значение матрицы
∇
2
f(x), если η > 10
2
, задача плохо обусловлена (овражный функционал);
б)
2
1
η≈
−
µ
, где µ установившееся значение отношения
(1)
()
|| ( ) ||
.
|| ( ) ||
k
k
fx
fx
+
∇
∇
Рассмотрим пример, демонстрирующий опасность использования
некоторых критериев останова в овражных ситуациях. Пусть
26 2
12 1 2
( , ) ( 1) 10 ( 1) 1;
fxx x x
−
=−+ −+
х*= [1.1]
T
–
оптимальное решение f*= 1.
Рассмотрим две точки:
1.
[]
6*
x 1,2 , ( ) 1 10 , || || 1.
T
fx x x
−
==+−=
2.
36*3
2
ˆˆˆ
1 10 ,1 , ( ) 1 10 , || || 10 .
T
fx x x
−−−
=+ =+ − =
x
Таким образом, по критерию нормы разности (удаленность одной
точки от другой) точка
ˆ
x
– лучшая, но
6
2
|| ( ) || 2 10
x
−
=⋅g
(g – градиент), а
3
2
ˆ
|| ( ) || 2 10 ,
x
−
=⋅g
т. е.
2
|| ( ) ||x
g
(ближе к нулю) оказывается лучше точка
x
, что, конечно, неверно.
Надо учесть, что малость градиента характерна для дна оврага (дви-
жение вдоль дна происходит всегда с малым градиентом) и на градиент
нельзя ориентироваться в плохо обусловленных задачах.
Численная аппроксимация градиентов
При отсутствии возможности получения аналитических выражений
для производных можно использовать различного рода аппроксимации
∇f, ∇
2
f конечными разностями
()
()()
|
i
xx
i
df f x he f x
dx h
−
−
=
+−
=
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- …
- следующая ›
- последняя »
