Физические основы механики. Молекулярная физика и термодинамика. Анищенко И.А - 33 стр.

                                33

Каждый слой представляет собой стержень с длиной, равной x
(так как угол при вершине треугольника равен 450, длина
каждого слоя равна расстоянию от слоя до начала координат).
Момент инерции стержня длиной x относительно оси,
перпендикулярной к стержню и проходящей через его конец,
равен dJ=1/3⋅x2 dm, где dm - масса слоя длиной x и шириной dx.
Чтобы найти величину dm, нужно площадь слоя умножить на
массу единицы площади. Так как площадь треугольника равна
S=a2/2, а площадь слоя равна xdx, то масса слоя выражается как:
     m        2m
dm =    xdx =     xdx . Момент инерции слоя будет равен
     S        a2
     2m 3
dJ =      x dx . Тогда для момента инерции треугольника получаем
        2
     3a
выражение:
                               2m a 3       ma 2
                    J = ∫ dJ =      ∫ x dx = 6 .
                               3a 2 0
Подставляя численные значения, находим J=0,0067 кг⋅м2.
Ответ: J=0,0067 кг⋅м2.

    Задача 5. Найти момент инерции J плоского кольца массой
m=1 кг относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и
проходящей через точку, лежащую на внешнем крае кольца.
Внутренний радиус кольца равен r=10 см, внешний - R=20 см.

      Решение
Согласно теореме Штейнера, момент инерции кольца J
относительно оси, перпендикулярной его плоскости и
проходящей через точку на краю кольца, может быть вычислен
следующим образом: J=J0+ma2, где J0 - момент инерции
относительно оси, проходящей через центр масс (центр кольца),
a - расстояние между осью и центром масс. В нашем случае a=R.
Для нахождения момента инерции J0 заметим, что момент
инерции любого тела равен сумме моментов инерции его частей.
Соответственно, момент инерции J1 сплошного диска радиусом R
относительно его оси равен сумме момента инерции J2