Физические основы механики. Молекулярная физика и термодинамика. Анищенко И.А - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

44
Сравнивая полученное выражение с дифференциальным
уравнением незатухающих колебаний
0
2
2
2
=+ x
d
t
xd
ω
, где
ω
-
круговая частота, получим
m
Rg
2
2
πρ
ω
=
. Так как T=2
π
/
ω
, то
период колебаний равен
πρ
π
g
m
R
T
2
=
. Подставляя численные
значения, находим, что
T=2,5 с.
Ответ: T=2,5 с.
Задача 3. Амплитуда колебаний математического маятника
длиной
L=1 м за время t=10 мин уменьшилась в N=2 раза.
Определить логарифмический декремент затухания колебаний
Θ.
Решение
Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени
имеет вид
A(t)=A
0
exp(-
δ
t), где A
0
- амплитуда колебаний в момент
времени
t=0,
δ
- коэффициент затухания. Логарифмический
декремент затухания
Θ определяется следующим образом:
T
TtA
tA
δ
=
+
=Θ
)(
)(
ln
,
где
A(t) и A(t+T) - амплитуды двух последовательных колебаний,
отстоящих по времени друг от друга на время
T, равное периоду
колебаний.
По условию задачи
A(t)=A
0
/N, откуда получаем: exp(-
δ
t)=1/N и
tN )(ln=
δ
.
Период колебаний математического маятника равен:
gLT
π
2= . Подставляя величины T и δ, находим
логарифмический декремент затухания:
g
L
t
N
T
ln2
π
δ
==Θ
.
Используя численные значения, получаем
Θ=0,00232.
Ответ:
Θ=0,00232. 
                               44

Сравнивая    полученное     выражение   с дифференциальным
                                       d 2x      2
уравнением незатухающих колебаний          2
                                             + ω   x = 0 , где ω -
                                       dt
                                      2
                                ρgπR
круговая частота, получим ω 2 =          . Так как T=2π/ω, то
                                   m
                             2π  m
период колебаний равен T =           . Подставляя численные
                              R ρg π
значения, находим, что T=2,5 с.
Ответ: T=2,5 с.

    Задача 3. Амплитуда колебаний математического маятника
длиной L=1 м за время t=10 мин уменьшилась в N=2 раза.
Определить логарифмический декремент затухания колебаний Θ.

     Решение
Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени
имеет вид A(t)=A0exp(-δt), где A0 - амплитуда колебаний в момент
времени t=0, δ - коэффициент затухания. Логарифмический
декремент затухания Θ определяется следующим образом:
                                 A(t )
                        Θ = ln           = δT ,
                               A(t + T )
где A(t) и A(t+T) - амплитуды двух последовательных колебаний,
отстоящих по времени друг от друга на время T, равное периоду
колебаний.
По условию задачи A(t)=A0/N, откуда получаем: exp(-δt)=1/N и
δ = (ln N ) t .
Период       колебаний    математического        маятника  равен:
T = 2π L g . Подставляя величины T и δ, находим
логарифмический декремент затухания:
                                 2π ln N L
                       Θ = δT =                .
                                      t     g
Используя численные значения, получаем Θ=0,00232.
Ответ: Θ=0,00232.

Страницы