Физические основы механики. Молекулярная физика и термодинамика. Анищенко И.А - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

45
Задача 4. Определить максимальные значения скорости и
ускорения точки, совершающей гармонические колебания с
амплитудой
A=3 см и угловой частотой
ω
=
π
/2 c
-1
.
Решение
Уравнение гармонических колебаний имеет вид:
x = A cos(
ω
t+
ϕ
),
где
ϕ
- начальная фаза колебаний. Скорость движения точки v и
ее ускорение
a найдем, вычислив производные:
v = dx/dt = -A
ω
sin(
ω
t+
ϕ
) и a = dv/dt = -A
ω
2
cos(
ω
t+
ϕ
).
Максимальные значения функций sin
x и cosx равны 1.
Соответственно, максимальные значения модулей скорости и
ускорения точки будут равны:
v
max
=A
ω
, a
max
=A
ω
2
.
Подставляя численные значения, получим
v
max
=4,71 см/c,
a
max
=7,40 см/c
2
.
Ответ:
v
max
=4,71 см/c, a
max
=7,40 см/c
2
.
Задача 5. Складываются два колебания одинакового
направления, описываемых уравнениями
x
1
=A
1
cos
ω
t и
x
2
=A
2
cos(
ω
t+
π
/3), где A
1
=4 см, A
2
=2 см. Найти амплитуду
результирующего колебания.
Решение
Для решения задачи удобнее всего
использовать метод векторных диаграмм.
Диаграмма сложения колебаний показана на
рисунке. Так как начальная фаза первого
колебания равна нулю, то вектор,
соответствующий этому колебанию,
направлен вдоль оси абсцисс. Вектор,
соответствующий второму колебанию, составляет с осью
x угол
π/3, равный начальной фазе второго колебания. Амплитуду
результирующего колебания находим из треугольника AA
1
O по
теореме косинусов:
A
1
A
2
A
x
y
A
2
= A
1
2
+A
2
2
-2A
1
A
2
cos(
π
-
π
/3).
Подставляя численные значения, получим
A = 5,3 см. 
                               45


     Задача 4. Определить максимальные значения скорости и
ускорения точки, совершающей гармонические колебания с
амплитудой A=3 см и угловой частотой ω=π/2 c-1.

     Решение
Уравнение гармонических колебаний имеет вид: x = A cos(ωt+ϕ),
где ϕ - начальная фаза колебаний. Скорость движения точки v и
ее ускорение a найдем, вычислив производные:
     v = dx/dt = -Aω sin(ωt+ϕ) и a = dv/dt = -Aω2cos(ωt+ϕ).
Максимальные значения функций sinx и cosx равны 1.
Соответственно, максимальные значения модулей скорости и
ускорения точки будут равны: vmax=Aω, amax =Aω2.
Подставляя численные значения, получим vmax=4,71 см/c,
amax=7,40 см/c2.
Ответ: vmax=4,71 см/c, amax=7,40 см/c2.

     Задача 5. Складываются два колебания одинакового
направления,    описываемых        уравнениями    x1=A1cosωt   и
x2=A2 cos(ωt+π/3), где A1=4 см, A2=2 см. Найти амплитуду
результирующего колебания.
     Решение
Для    решения     задачи     удобнее     всего y
использовать метод векторных диаграмм. A
                                                  2
Диаграмма сложения колебаний показана на
рисунке. Так как начальная фаза первого                      A
колебания     равна    нулю,      то    вектор,
                                                             x
соответствующий        этому        колебанию,          A1
направлен вдоль оси абсцисс. Вектор,
соответствующий второму колебанию, составляет с осью x угол
π/3, равный начальной фазе второго колебания. Амплитуду
результирующего колебания находим из треугольника AA1O по
теореме косинусов:
                  A2 = A12 +A22 -2A1A2cos(π-π/3).
Подставляя численные значения, получим A = 5,3 см.

Страницы