ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
27
Важным ис точником для пос троения ортогональных на ],[ ba пробных
функций является множество решений задачи, называемой задачей на
собственные значения для дифференциального оператора yyL
′′
=][.
Рассмотрим конкретный пример тако й задачи.
Пример 3. Требуется найти действительные значения параметра
λ
, при
которых существуют нетривиальные решения дифференциального уравнения
0=+
′′
yy
λ
, (2.13)
удовлетворяющие однородным условиям
⎩
⎨
⎧
=
′
+
=
′
+
.0)1()1(
,0)0()0(
yy
yy
(2.14)
Решение. Пус ть 0=
λ
, тогда общее решение уравнения (2.13) будет иметь
вид
21
CxCy += . Пытаясь удовлетворить условиям (2.14), получаем
⎩
⎨
⎧
=
=
⇔
⎩
⎨
⎧
=
=+
⇔
⎩
⎨
⎧
=+
=+
.0
,0
,0
,0
,02
,0
2
1
2
21
21
21
C
C
C
CC
CC
CC
Таким образом, 0=
λ
не является собственным значением, так как ему
соответствует единс твенное тривиальное (0≡
y
) решение задачи (2.13), (2.14).
Пусть 0<
λ
, тогда
xx
ececy
δδ
21
+=
−
, ||
λδ
= , и ус ловия (2.14) приводят к
системе уравнений
⎩
⎨
⎧
=
=
⇔
⎩
⎨
⎧
=++
=++−
⇔
⇔
⎩
⎨
⎧
=++−
=++−
⇔
⎩
⎨
⎧
=+−+
=+−+
−
−−−
.0
,0
,0))(1(
,0)1()1(
,0)1()1(
,0)1()1(
,0
,0
1
2
2
21
21
21
2121
2121
C
C
Cee
CC
eCeC
CC
eCeCeCeC
CCCC
δδ
δδδδδδ
δ
δδ
δδ
δδ
δδ
δδ
Следовательно, среди отрицательных действительных чисел собственных
значений задачи (2.13), (2.14) нет.
Пусть теперь 0>
λ
. Тогда )sin()cos(
21
xCxCy
γ
γ
+= ,
λγ
= , и краевые
условия (2.14) дают
()
⇔
⎩
⎨
⎧
=+
−=
⇔
⎩
⎨
⎧
=−+−−
−=
⇔
⎩
⎨
⎧
=++−
−=
⇔
⎩
⎨
⎧
=+−+
=+
.0sin)1(
,
,0cossin)sin(cos
,
,0)cos(sin)sin(cos
,
,0cossinsincos
,0
2
21
2
21
21
21
2121
21
γλ
γ
γγγγγγγ
γ
γγγγγγ
γ
γγγγγγ
γ
C
CC
C
CC
CC
CC
CCCC
CC
Видим, что существуют нетривиальные решения задачи (2.13), (2.14), ес ли
0si
n
=
γ
, т. е. ,...2,1, == nn
π
γ
Таким образом, множество собственных значений определяется формулой
,...2,1,)(
2
== nn
n
πλ
, а множество собственных функций, соответствующих
собственному значению
n
λ
, имеет базисную функ цию
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- …
- следующая ›
- последняя »
