Алгоритмы методов взвешенных невязок для решения линейных задач математической физики и их реализация в системе MathCAD. Анкилов А.В - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

6
1. Математическое моделирование физических задач
1.1. Вывод уравнений одномерной теплопроводности
Пус ть дано материальное тело, расположенное между точкам и a
x
= и
b
x
= оси O
x
, продольный размер которого значительно превосходит размеры
поперечного сечения, например, то нкий стержень, длинный трубопровод и т. д.
В дальнейшем будем называть это тело стержнем. Будем считать площадь )(
x
S
поперечного сечения (перпендикулярного оси O
x
) настолько малой, что всем
точкам одного сечения в момент времени
t
можно приписать одну и ту же
температуру ),(
t
x
u . Будем считать, что стержень теплоизолирован вдоль
боковой поверхности, а внутри стержня нет источников или стоков
(поглотителей) те пла.
Рассмотрим элемент стержня между его сечениями с абсциссами
x
и
d
x
x
+ . Найдем количество те пла, которое накапливается в элементе за время
d
t
. Согласно закону Фурье интенсивность ),(
t
x
q теплового потока в сечении
x
определяется выражением :
x
txu
xKtxq
∂
∂
−=
),(
)(),(,
где )(
x
K
– коэффициент теплопроводности )0)(( >
x
K
. Тогда разность Qd
′
между количеством тепла, вошедшим в элемент через сечение
x
и вышедшим
через сечение d
x
x
+ за время d
t
, будет равна:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
+∂
++−−
∂
∂
−=
′
dt
x
tdxxu
dxxSdxxKdt
x
txu
xSxKQd
),(
)()(
),(
)()(.
Ис пользуя формулу Тейлора первого порядка с ос та точ ным членом в форме
Пе ано для функций ),( ),( ),( tdxxudxxSdxxK
x
+
′
++ , имеем
()()
).(
),(
)()()(
),(),(
)()()()()()(
),(
)()(
2
2
dxdtodxdt
x
tx
xSxK
x
dtdxodx
x
txu
x
txu
dxodxxSxSdxodxxKxKdt
x
txu
xSxKQd
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
∂
∂
+
∂
∂
×
×+
′
++
′
++
∂
∂
−=
′
(1.1)
Напомним, что символом )(
x
o обозначается величина бесконечно малая более
высокого порядка, чем
x
.
С другой стороны, за счет притока тепла температура в элементе
изменяется, и количество те пла d
Q
, поглощаемое элементом за время d
t
, равно
()
∫
+
−+=
dxx
x
dvtvudttvuvvSvCdQ ,),(),()()()(
ρ
где )(
x
C – теплоемкость; )(
x
ρ
– объемная плотность вещества стержня
()
0)( ,0)( >> xxC
ρ
.

Страницы