Алгоритмы методов взвешенных невязок для решения линейных задач математической физики и их реализация в системе MathCAD. Анкилов А.В - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

7
Откуда, на основании теоремы о среднем для определяемого интеграла,
получаем равенство
()
, ,),(),()()()( dxxxdxtudttuScdQ +<<−+=
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ρ
ξ
которое при помощи теоремы Лагранжа о конечных приращениях
преобразуется к виду
(0,1). ,
),(
)()()( ∈
∂
+∂
=
θ
θ
ξ
ξξρξ
dtdx
t
dttu
ScdQ (1.2)
Приравнивая, на основании закона сохранения энергии, выражения (1.1),
(1.2) и осуществляя предельный переход при 0→d
t
, получаем одномерное
уравнение теплопроводности в виде
.
t
u
SC
x
u
KS
x ∂
∂
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
ρ
Пред положим теперь, что внутри стержня происходит выделение или
поглощение те пла (это имеет место, например, при прохождении по телу
электрического тока или вследствие происходящих в нем химических реакций).
Тогда количество тепл а, накопленное в элементе стержня за время d
t
за счет
внутренних источников, будет равно dxdttxSFdQ
o
),(= , где ),(
t
x
F
– плотнос ть
те пловых источников внутри стержня. Уравнение теплопроводности с учетом
внутренних источников тепла принимает вид
o
dQQddQ +
′
= или
.SF
x
u
KS
xt
u
SC +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
ρ
Пред положим далее, что на боковой поверхности стержня происходит
теплообмен с окружающей средой. Тогда тепловой поток, проходящий за время
d
t
через боковую поверхность элемента, согласно закону Ньюто на
пропорционален разнос ти тем ператур поверхности тела и окружающей среды и
определяется выражением
[]
,),(),()(
*
*
dxdttxTtxuxdQ −−=
β
где ),(
t
x
T
– температура внешней среды; )(
*
x
β
– коэффициент теплообмена,
зависящий от свойств материала стержня и внешней среды, режима
взаимодействия (условий контакта) стержня с внешней средой, а также от
геометрических характеристик поперечного сечения. Уравнение
теплопроводности с учетом внутренних источников тепла и теплообмена на
боковой поверхности имеет вид
o
dQdQQddQ ++
′
=
*
или
()
).,(
*
txSFTu
x
u
KS
xt
u
SC +−−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
βρ
(1.4)
Заметим, что если те пло распространяется в жидкости, которая движется
со скоростью ),(
t
x
V
параллельно оси
x
, то уравнение теплопроводности
запишется следующим образом:

Страницы