Алгоритмы методов взвешенных невязок для решения линейных задач математической физики и их реализация в системе MathCAD. Анкилов А.В - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

84
На йдем точное решение этой задачи методом разделения переменных [4,5].
Извес тно, что для волнового уравнения с однородными граничными условиями
2
2
1
2
2
x
u
с
t
u
∂
∂
=
∂
∂
,
}
{
0,0:),(),(
2
≥≤≤∈=∈ tlxtxDtx R ,
,0
)
,0
(
=
t
u ,0
)
,
(
=
t
l
u
)
(
)
0,
(
x
x
u
ψ
= , )(
)0,(
x
t
xu
ϕ
=
∂
∂
решение имеет вид
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
∑
∞
=
x
l
n
t
l
cn
Bt
l
cn
AtxU
n
nn
π
ππ
sinsincos),(
1
11
, (6.32)
где
n
A ,
n
B – коэффициенты Фурье
∫∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
l
n
l
n
dxx
l
n
x
n
Bdxx
l
n
x
l
A
00
,sin)(
2
,sin)(
2
π
ϕ
π
π
ψ
(6.33)
На йдем решение волнового уравнения с неоднородными граничными
условиями (6.29)–(6.31). Ищем
)
,
(
t
x
U в виде
π
x
txVtxU
++= 1),(),( . (6.34)
Тогда из (6.29)–(6.31) для определения функции
)
,
(
t
x
V
получаем следующую
задачу с однородными граничными условиями
2
2
2
2
x
V
t
V
∂
∂
=
∂
∂
, (6.35)
0
)
,0
(
=
t
V
, 0
)
,
(
=
t
V
π
, (6.36)
)
(
)
0,
(
π
−=
x
x
x
V
, 0
)0,(
=
∂
∂
t
xV
. (6.37)
Подс тавляя в (6.32), (6.33)
0)(),()(,,1
1
=−=== xxxxlс
ϕ
π
ψ
π
,
получим решение
()
)sin()sin()cos(),(
1
nxntBntAtxV
n
nn
∑
∞
=
+= ,
где
dxnxxxA
n
)sin()(
2
0
2
∫
−=
π
π
π
, 0=
n
B .
Интегрируя два раза по частям, получаем
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=−
=
=−−=
.12,
8
;2,0
1)1(
4
3
3
mn
n
mn
n
A
n
n
π
π
Таким образом, точное решение задачи (6.29)–(6.31) аналитически задается
выражением

Страницы