Решение линейных задач математической физики на основе методов взвешенных невязок. Анкилов А.В - 104 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

104
системой дважды дифференцируемых функций )(...,),(),,(
10
xuxutxu
n
таких,
что ),(
0
txu удовлетворяет краевым условиям (4.2), а пробные функции )(xu
i
)1( i являются линейно независимыми на
ba, и удовлетворяют однородным
краевым условиям
.0)()(
,0)()(
10
10
bubbub
auaaua
(4.5)
Составляем функцию
n
k
kkn
xutvtxutxu
1
0
)()(),(),(
(4.6)
с неизвестными пока функциями
)(),...,(
1
tvtv
n
, зависящими только от аргумента t.
Подчеркнем, что в силу линейности условий (4.2) и (4.5), функция (4.6)
удовлетворяет условиям (4.2) при любых функциях
)(),...,(
1
tvtv
n
. Значит,
следует так определить )(tv
i
)1( i и количество )(n этих функций, чтобы
),( txu
n
из (4.6) удовлетворяла уравнению (4.1) и начальным условиям (4.3),
(4.4) с заданной точностью.
Подставляя ),( txu
n
вместо ),(
t
x
u в уравнение (4.1) , получаем невязку

),(),(),(),(
),(),(,,)(),...,((
1
0
1
0
2
1
2
0
2
1
0
2
0
2
1
2
2
11
txguvutxuv
x
u
txKuv
x
u
txK
t
u
tx
t
u
xu
t
v
tx
t
v
txtvtvR
n
k
kk
n
k
kk
n
k
kk
n
k
k
kk
n
или

.
,,,...,(
0
2
0
2
0
0
2
2
0
2
1
1
21
11
2
2
11
t
u
t
u
gu
x
u
K
x
u
K
vuuKuK
t
v
u
t
v
utxvvR
n
k
kkkk
n
k
k
k
n
k
k
kn
(4.7)
Подставляя )0,(xu
n
в (4.3), находим невязку

)()()0()0,(),0(),...,0(
1
012
xfxuvxuxvvR
n
k
kkn
. (4.8)
Подставляя
t
xu
n
)0,(
, находим невязку

)()()0(
)0,(
),0(),...,0(
1
0
13
xxuv
t
xu
xvvR
n
k
kkn
. (4.9)
Невязки
1
R
,
2
R
и
3
R
являются характеристиками уклонения функции (4.6)
от точного решения ),(
t
x
U
задачи (4.1)–(4.4). Во всяком случае, если при
некотором наборе функций )(tv
j
0
1
R , 0
2
R и 0
3
R , то функция ),( txu
n
из
(4.6) – точное решение.

Страницы