ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
138
5. Решение первой краевой задачи для двухмерного
эллиптического уравнения методом Галеркина
5.1. Постановка задачи и алгоритм метода
Рассмотрим следующую задачу. Требуется в плоской замкнутой области
D
найти функцию ),( y
x
u , удовлетворяющую внутри
D
уравнению
),,(),(),(),(),(),(
5
43
2
2
2
2
2
1
yxfuyxK
y
u
yxK
x
u
yxK
y
u
yxK
x
u
yxK
(5.1)
а на границе
D
Г
области D – краевому условию
)()( MgMu
D
ГM
, (5.2)
где ),,( ),,( ),,( ),0( ),( ),0( ),(
5432211
yxKyxKyxKKyxKKyxK ),,( y
x
f
)(
M
g
–
заданные непрерывные функции.
Напомним, что в такой форме может быть поставлена первая краевая
задача двухмерной стационарной теплопроводности, рассмотренная в главе 1.
Заметим, что частным случаем задачи (5.1)–(5.2) является задача Дирихле
на плоскости [1].
В методе Галеркина для нахождения приближенного решения задачи (5.1)–
(5.2) строится функциональная последовательность
0
),( yxu
n
из пробных
решений
),( yxu
n
следующим образом.
Зададим в области
D
некоторую систему дважды дифференцируемых
функций ),(
0
yxv , ),(
1
yxv , ..., ),( yxv
n
таких, что ),(
0
yxv удовлетворяет
краевому условию (5.2), а пробные функции ),( yxv
i
(1i ) являются линейно
независимыми на
D и удовлетворяют однородному граничному условию
0)(
D
ГMi
Mv . (5.3)
Составляем функцию
n
k
kkn
yxvCyxvyxu
1
0
),(),(),(
(5.4)
с неизвестными пока постоянными коэффициентами
k
C . Заметим, что, в силу
линейности относительно ),( y
x
u граничного условия (5.2), функция (5.4) при
любых значениях
n
CC ,...,
1
удовлетворяет ему. Подставляя ),( yxu
n
из (5.4)
вместо ),( y
x
u в уравнение (5.1), получаем функцию
n
k
kknn
yxfvLCvLCCyxR
1
01
),(][][),...,,,( , (5.5)
где введено обозначение
vK
y
v
K
x
v
K
y
v
K
x
v
KvL
543
2
2
2
2
2
1
)(
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 136
- 137
- 138
- 139
- 140
- …
- следующая ›
- последняя »
