Решение линейных задач математической физики на основе методов взвешенных невязок. Анкилов А.В - 139 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

139
Функцию (5.5) называют невязкой. Она линейно зависит от параметров
n
CC ,...,
1
и является характеристикой уклонения ),( yxu
n
от точного решения
),( y
x
U
задачи. Если невязка (5.5) тождественно равна нулю внутри области D ,
то ),(),( yxuyxU
n
. В общем случае невязка оказывается отличной от нуля и,
следуя Галеркину, значения параметров
n
CC ,...,
1
определяем из системы
уравнений
0),(),,...,,,(
1
yxWCCyxR
knn
, nk ,1 , (5.6)
где


D
dxdyyxgyxvyxgyxv ),(),(),(),,( (5.7)
является скалярным произведением двух функций, а ),( yxW
k
– заданные
непрерывные и линейно независимые на
D функции, называемые
поверочными. Заметим, что в качестве поверочных функций можно взять
пробные. Если ),( yxW
k
входят в полную систему функций, то при
n из
равенств (5.6) следует сходимость невязки к нулю в среднем.
Запишем условие (5.6) в развернутом виде, для определения значений
параметров
k
C получаем неоднородную систему линейных алгебраических
уравнений n -го порядка
k
n
j
jkj
bCa
1
, nk ,1 , (5.8)
где

.])[(],[
,][],[
0
dxdyWvLfWvLfb
dxdyWvLWvLa
D
kkok
D
kjkjkj


(5.9)
Решив систему (5.8) и подставив определяемые этим решением значения
k
C
в (5.4), заканчиваем построение пробного решения
),( yxu
n
.
Опишем возможный алгоритм приближенного решения задачи (5.1), (5.2)
методом Галеркина, предполагая, что последовательность
),( yxu
n
сходится
поточечно к ),( y
x
U
.
1. Подготовительный шаг алгоритма
. На этом шаге выбираем функцию
),(
0
yxv
, пробные функции
),(
1
yxv
, ...,
),( yxv
n
и поверочные функции
),(
1
yxW , ..., ),( yxW
n
. Заметим, что пробные и поверочные функции можно
строить или выбирать, руководствуясь соображениями, изложенными в разделе
2.5, и подробно описаны в работах [1], [2]. Затем находим функцию
),(][),(
00
yxfvLyxR , т. е. невязку от подстановки ),(
0
yxu в уравнение
(5.1). Если
0),( :),(
0
yxRDyx , то ),(),(
0
yxUyxv
и вычисление
заканчиваем. Если же 0),(
0
yxR , то переходим к следующему шагу
алгоритма.

Страницы