Решение линейных задач математической физики на основе методов взвешенных невязок. Анкилов А.В - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

15
то, учитывая условие (1.15), из (1.16) получим )()(
x
T
dx
x
T
. Откуда, в силу
произвольности выбора точек
x
и dx
x
, следует, что величина натяжения не
зависит и от
x
, т. е. является постоянной,
constTxT
0
)(
.
Проектируя теперь все силы на ось
Ou , получаем


dxx
x
dxx
x
dztzFTTdz
t
tzu
z
,),()sin()sin(
),(
)(
1020
2
2
(1.17)
где )(
x
– линейная плотность струны.
Аналогично формулам (1.16) устанавливаем
,
),(
1
),(
)(tg1
)(tg
)sin(
2
2
2
2
2
x
tdxxu
x
tdxxu
,
),(
1
),(
)(tg1
)(tg
)sin(
2
1
2
1
1
x
txu
x
txu
откуда, согласно условию (1.14), имеем
.
),(
)sin( ,
),(
)sin(
12
x
txu
x
tdxxu
Теперь, применяя для входящих в формулу (1.17) интегралов теорему о
среднем, а для
),( tdxxu
x
– формулу Тейлора первого порядка с остатком в
форме Пеано, получаем
,),()(
),(
),(
)(
2
2
2
0
2
1
2
1
dxtFdxodx
x
txu
Tdx
t
tu
где
1
и
2
принадлежат отрезку
dxxx
,. Почленно деля последнее
равенство на dx и осуществляя предельный переход при 0dx , получаем
уравнение колебания струны следующего вида:
),(
),(),(
)(
2
2
0
2
2
txF
x
txu
T
txu
x
. (1.18)
Если струна дополнительно по всей длине связана с вязкоупругим
основанием, то для описания ее колебания можно получить уравнение
),,(
),(
),(
),(),,(),(),(
),(),(
)(
0
2
2
0
2
2
txF
txu
tx
dxutxQtxutx
x
txu
T
t
txu
x
t
(1.19)
где ),(),,(
x
x
– коэффициенты жесткости и демпфирования основания;
),,(
x
Q – ядро релаксации, учитывающее изменение с течением времени
физико-механических свойств материала основания (т. е. его старение).

Страницы