Решение линейных задач математической физики на основе методов взвешенных невязок. Анкилов А.В - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

16
Заметим, что при выводе уравнения (1.19) предполагалось, что реакция
основания пропорциональна его деформации (модель Винклера).
В статических задачах профиль струны )(
x
uu
определяется, согласно
(1.12), решением уравнения
.
)()(
00
T
xF
u
T
x
u
(1.20)
1.6. Вывод уравнений продольных и крутильных колебаний стержня
Для вязкоупругого тела при одномерном растяжении (сжатии) связь между
деформацией (относительным удлинением) ),(
t
x
и напряжением ),(
t
x
представляется формулой
,
),(
),(),(),,(),(),(),(
0
t
tx
txdxtxRtxtxEtx
t
(1.21)
где
E
– модуль упругости;
R
– ядро релаксации, учитывающее старение
материала тела;
– коэффициент внутреннего трения. Заметим, если 0
R
и
0
, то получаем закон Гука для упругого тела.
Рассмотрим элемент стержня (рис. 1.2), заключенный между поперечным
сечением с координатами
x
и dx
x
.
Рис. 1.2 Иллюстрация к выводу уравнения продольных колебаний стержня
В сечении «
x
» на элемент действует сила )(),(),(
x
S
t
x
t
x
N
, где )(
x
S
–
площадь сечения, в сечении « dx
x
» – сила ))(),(),( dx
x
S
t
dx
x
t
dx
x
N
.
Предполагая, что на стержень действует внешняя нагрузка, распределенная по
длине стержня с объемной плоскостью ),(
t
x
F , аналогично выводу уравнения
(1.18) получаем уравнение продольных колебаний стержня следующего вида:

),,()(),()(
),(
)()(
2
2
txFxStxxS
x
t
txu
xSx
(1.22)
где )(
x
– объемная плотность материала стержня; ),(
t
x
u – продольное
смещение сечения стержня с координатой
x
в момент времени
t
от положения,
которое занимало это сечение, когда стержень находился в ненапряженном
состоянии.
Учитывая, что
,
),(),(),(
lim),(
0
x
txu
dx
txutdxxu
tx
dx
и подставляя (1.21) в (1.22), имеем

Страницы