Решение линейных задач математической физики на основе методов взвешенных невязок. Анкилов А.В - 157 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

157
Заметим, что любая функция вида (5.14) удовлетворяет краевым условиям
(5.13). Подставляем (5.14) в (5.12), получаем
xyxmykxmkH
mk
mk
)(sinsin)(
22
11
.
Значит, постоянные
)(
22
mkH
mk
должны быть коэффициентами двойного
ряда Фурье для функции
xy
x
)(
, т. е.

00
22
22
sinsin)(
4
sinsin)(
4
)( mydyykxdxxxdxdymykxxyxmkH
D
mk
.
Отсюда, так как

k
k
kx
k
kx
k
xkx
k
xxkxdxxx )1(1
2
cos
2
sin
1
)2(cos
1
)(sin)(
3
0
32
0
,
m
m
my
m
my
m
ymydyy )1(sin
1
cos
1
sin
0
2
0
,
то
)(
)1()1(18
)(
)1()1(124
223
1
2232
mkmkmkmk
H
mkmk
mk
.
Следовательно, точное решение задачи (5.12)–(5.13) аналитически задается
выражением
mykx
mkmk
yxU
km
mk
sinsin
)(
)1()1(18
10),(
11
223
1

. (5.15)
Найдем такое значение
M
, при котором функция
mykx
mkmk
yxU
M
k
M
m
mk
sinsin
)(
)1()1(18
10),(
ˆ
11
223
1


(5.16)
с точностью
001,0
приближенно определяет ),( y
x
, т. е.
001,0),(
ˆ
),( :),( yxUyxUDyx . (5.17)
Оценим сверху величину .

11
223
11
223
1
)(
116
sinsin
)(
)1()1(18
MkMmMkMm
mk
mkmk
mykx
mkmk


My
MMMMM
yx
y
x
dx
xyxy
dy
dx
xyxyx
dxdy
22
23223223
ln
1116
)(
116
)(
16
555
2
5
22
5
,
1
1
ln
116
ln
116
Mzx
Mdzdxz
M
x
dx
M
x
x
dx
Mx
M
x
MM

Страницы