Решение линейных задач математической физики на основе методов взвешенных невязок. Анкилов А.В - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

20
Уравнение продольных колебаний струны
).,(),()(
),(),(
)(
2
2
0
2
2
txFtxux
x
txu
T
t
txu
x
(1.31)
Уравнение продольных колебаний стержня
).,()(),()(
),(
)()(
),(
)()(
2
2
txFxStxux
x
txu
xExS
x
t
txu
xSx
(1.32)
Уравнение крутильных колебаний стержня
).,(),()(
),(
)()(
),(
)()(
0
2
2
0
txFtxux
x
txu
xGxJ
x
t
txu
xJx
(1.33)
Уравнения (1.31)–(1.33) являются уравнениями гиперболического типа.
Рассмотрим гармонические колебания упругих тел. В этом случае решение
уравнений (1.31)–(1.33) и приложенную внешнюю нагрузку ),(
t
x
F представим
в виде:
),sin()(),( ),sin()(),(
**
txFtxFtxutxu (1.34)
где
(частота колебаний) и
– постоянные. Тогда для
)()(
*
xyxu
получим
уравнение (1.30), в котором )(
x
F следует заменить на )(
*
xF , а )(
x
– на )(
*
x
,
где
2
*
)()()(
xxx соответствует уравнению (1.31),
2
*
)()()()(
xSxxx – уравнению (1.32),
2
0*
)()()()(
xJxxx – уравнению (1.33).
Приведем основные типы граничных условий при a
x
.
а) );(),( ttxu
a
это условие соответствует движению левого конца струны
или стержня по закону
)(t
a
.
б)
);(
),(
)( tq
x
tau
aK
a
это условие соответствует заданию на левом конце
стержня продольной силы )(),( tqtaN
a
для задачи (1.32) и заданию крутящего
момента
)(),( tqtaM
a
в случае задачи (1.33). В частности, если левый конец
свободен, то 0
a
q .
в)

;)(),(
),(
)( ttau
x
tau
aK
aa
это условие соответствует упругому
закреплению левого сечения стержня, движущегося (вращающегося) по закону
)(t
a
.
Предполагая функции )(),(),( tqtt
aaa
периодическими во времени,
аналогично (1.34) положим
),sin()(),sin()( ),sin()(
000
tqtqtttt
aaaaaa
где
000
,,
aaa
q
– постоянные. Тогда для
)()(
*
xyxu
будем иметь граничные
условия следующего вида:
а)
;)(
0
a
ay

Страницы