Решение линейных задач математической физики на основе методов взвешенных невязок. Анкилов А.В - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

23
Задаемся на отрезке

ba, некоторой системой дважды непрерывно
дифференцируемых функций
)(),...,(),(
10
xuxuxu
n
таких, что
)(
0
xu
удовлетворяет краевым условиям (2.3), а функции )(),...,(),(
21
xuxuxu
n
,
называемые пробными функциями, линейно независимы на

ba, и
удовлетворяют однородным краевым условиям
.0)()(
,0)()(
10
10
bubbub
auaaua
(2.6)
Составляем функцию
n
i
iin
xuCxuxy
1
0
)()()( (2.7)
с неизвестными пока постоянными коэффициентами
n
CCC ,...,,
21
. Подчеркнем,
что в силу линейности условий (2.3), функция (2.7) при любых значениях
n
CC ,...,
1
удовлетворяет этим условиям. Подставляя функцию )(xy
n
из (2.7)
вместо )(
x
y в уравнение (2.1), получаем функцию

n
i
iin
uLCxfuLxCCCR
1
021
,)(),,...,,( (2.8)
которая называется невязкой. Как видно из (2.8), невязка линейно зависит от
параметров
n
CCC ,...,,
21
и является характеристикой уклонения функции (2.7)
от точного решения )(
x
Y
задачи (2.1), (2.3). Во всяком случае, если при
некоторых значениях параметров
n
CCC ,...,,
21
невязка на ],[ ba тождественно
равна нулю, то )()( xyxY
n
в силу единственности )(
x
Y
.
Однако в общем случае невязка оказывается отличной от нуля. Поэтому
подбираем значения параметров
n
CC ,...,
1
так, чтобы невязка в каком-то смысле
была бы наименьшей. В обобщенном методе Галеркина значения параметров
n
CC ,...,
1
определяются из системы уравнений

,,1 ,0)(,,,...,
1
nkxWxCCR
kn
(2.9)
где
b
a
dxxgxxgx )()())(),((
, (2.10)
а )(),...,(
1
xWxW
n
– заданные непрерывные и линейно независимые на
ba,
функции, часто называемые поверочными функциями. Заметим, что если в
качестве поверочных функций взять пробные, то получится метод Галеркина в
авторском варианте [1]. Заметим также, что если
)(),...,(
1
xWxW
n
входят в
полную систему функций, то при
n равенства (2.9) свидетельствуют об
ортогональности невязки всем элементам полной системы [3]. Значит, невязка
сходится при
n к нулю в среднем, и можно ожидать сходимости
последовательности (2.7) к точному решению )(
x
Y
в среднем, т. е.

.0)()(),()(lim
xyxYxyxY
nn
n

Страницы