Решение линейных задач математической физики на основе методов взвешенных невязок. Анкилов А.В - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

35
,0cossinsincos
,0
2121
21
CCCC
CC

.0sin)1(
,
,0cossin)sin(cos
,
,0)cos(sin)sin(cos
,
2
21
2
21
21
21
C
CC
C
CC
CC
CC
Видим, что существуют нетривиальные решения задачи (2.32), (2.33), если
0sin
, т. е. ,...2,1, nn
Таким образом, множество собственных значений определяется формулой
,...2,1,)(
2
nn
n
, а множество собственных функций, соответствующих
собственному значению
n
, имеет базисную функцию
).cos()sin()cos()sin( xnnxnxxy
nnnn
Окончательно получим множество собственных значений и
соответствующих им собственных функций:
,...2,1,)(
),cos()sin()cos()sin(,
2
11
nn
xnnxnxxyey
n
nnnn
x
Для того чтобы убедиться в ортогональности на

1,0 функций
)( )(),( mnxyxy
mn
, достаточно проверить, что
1
0
0)()( ),( dxxyxyyy
mnmn
.
V. Пример 4 показывает, что полную систему пробных или поверочных
функций
)(xu
i
, 1i можно составить из последовательно определяемых
нетривиальных решений задачи (2.32), (2.6) трех видов:
;0,)(
xx
BeAexu (2.34)
;)(
B
A
x
x
u
(2.35)
.0),sin()cos()(
x
B
x
A
x
u (2.36)
Приведем теперь еще несколько примеров построения пробных решений
задачи (2.1) с некоторыми вариантами краевых условий (2.3).
Пример 5. Построить пробное решение (2.7) с краевыми условиями
2)0(
y , 3)1(
y .
Решение. Пусть
2
0
CxBxu . Тогда из граничных условий находим
2
B
, 32
B
, т. е. 2
B
, 21
C . Итак,
2
0
2
1
2)( xxxu
.
Построим пробные функции, используя формулы (2.34) – (2.36).

Страницы