Решение линейных задач математической физики на основе методов взвешенных невязок. Анкилов А.В - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

73
,,,,
1,
1,
n
j
n
k
n
kj
n
kj
vVbBcCaA
то система (3.12) в матричном виде запишется так
BCV
dt
dV
A . (3.16)
Покажем, что матрица
A
всегда невырожденная, т. е. 0de
t
A
.
Рассмотрим однородную линейную алгебраическую систему уравнений
относительно неизвестных
n
,...,,
21

n
j
jkj
nkwu
1
,1,0,
. (3.17)
Если 0de
t
A
, то система (3.17) имеет множество ненулевых решений.
Пусть одним из таких решений является совокупность
n
,...,,
21
, где,
например,
0
m
. Подставляя это решение в уравнение системы (3.17),
суммируя все получившиеся при этом равенства и используя свойства
скалярного произведения, получаем
0...,...
111
nnn
wwuu
, 0
m
.
Так как функции )(xw
k
линейно независимы, то 0...
1
n
ww . Значит,
должно выполнятся тождество
0,0...
11
mnn
uu
. Но это невозможно
из-за линейной независимости функций
n
uu ,...,
1
. Значит, ненулевых решений у
системы (3.17) нет, а для этого необходимо и достаточно, чтобы 0de
t
A
.
Таким образом, матрица
A
невырожденная и, следовательно, имеет обратную
матрицу
1
A
.
Теперь из (3.16) получаем

BCVA
dt
dV
1
. (3.18)
Таким образом, функции )(tv
j
должны удовлетворять нормальной системе
линейных обыкновенных дифференциальных уравнений n -го порядка.
Заметим, что если функции ),(),,(
t
x
t
x
K
зависят только от
x
, то система (3.18)
– система с постоянными коэффициентами. Заметим так же, что если в качестве
поверочных функций выбраны пробные, которые ортогональны, то матрицы
A
и
1
A
являются диагональными матрицами.
Запишем теперь в развернутом виде условия (3.11). Получаем


;0)(),()0,()0()(),(
)(),()()0()0,(
0
1
1
0
xwxfxuvxwxu
xwxfxuvxu
k
n
j
jkj
k
n
j
jj
или


;,1,)(),0,()()0()(),(
0
1
nkxwxuxfvxwxu
kj
n
j
kj
или

Страницы