Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

100
)(Ma
rd
M (x, y, z)
Рис. 4.3
вектор скорости
),(Мa то в области D имеет место гидродинамическое поле )(Мa
скоростей текущей жидкости.
Если в пространственной области D введена система координат Oxyz, то задание
пространственного векторного поля
)(Maa равносильно заданию трех скалярных
функций P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z), являющихся проекциями вектора
)(Мa на оси
координат:
.),,(),,(),,()( kzyxRjzyxQizyxPMa
Здесь x, y, z – координаты точки .DM
Если векторное поле
)(Maa плоское (D – область на плоскости Oxy), то
.),(),()( jyxQiyxPMa
Пример 4.2.1. Найти векторное поле напряженности, создаваемое точечным
положительным зарядом величиной q.
Решение. В пространстве зафиксируем систему координат Oxyz и поместим заряд в
точку О.
В каждой точке M (x, y, z) пространства на единичный положительный заряд действует
отталкивающая сила
E
, которая называется напряженностью электростатического поля.
Вектор
E
направлен вдоль линии, соединяющей заряды (рис. 4.2).
Согласно закону Кулона
2
/|| rqE
, где
222
zyxOMr – расстояние между
зарядами. Найдем проекции вектора
E
на координатные оси. Заметим, что векторы
E
и

zyxOM ,, коллинеарны и сонаправлены, следовательно, OME
, где 0
. Отсюда
3
r
q
OM
E
, а тогда

333
,,,,
r
qz
r
qy
r
qx
zyxOME
– искомое векторное поле.
Определение 4.2.1. Векторной линией поля
)(Maa
называется линия, в каждой
точке М которой направление касательной совпадает с направлением соответствующего
вектора поля (рис. 4.3).
В силу этого определения вектор
dzdydxrd ,,
, направленный по касательной к
векторной линии поля
)(Maa
в точке М, коллинеарен вектору

RQPMa ,,)(
в
указанной точке. Условие коллинеарности этих двух векторов, которое записывается в
форме
x
O
у
M (x, y, z)
z
E
Рис.4.2

Страницы