Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 102 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

102
В точках, где векторные линии выходят из области Т (жидкость вытекает), внешняя
нормаль образует с вектором
a острый угол и скалярное произведение (a , n ) > 0; в точках
же поверхности, где векторные линии входят в область Т (жидкость втекает), внешняя
нормаль составляет с вектором
a тупой угол, поэтому ( a , n ) < 0. Отсюда следует, что поток
вектора, определяемый интегралом (4.6), дает разность между количествами жидкости,
вытекающей из области Т и втекающей в нее за единицу времени.
Пусть поток К > 0; это значит, что из области Т вытекает больше жидкости, чем
втекает. Если жидкость предполагать несжимаемой, то такое возможно только тогда, когда
внутри области Т
существуют источники, питающие поток. Наоборот, если поток К < 0, то
количество вытекающей жидкости меньше количества жидкости втекающей. Следовательно,
внутри Т имеются стоки, поглощающие излишек жидкости. Если в области Т нет ни
источников, ни стоков, то количества жидкости вытекающей и втекающей в Т равны и поток
К = 0.
Пример 4.2.2. Найти поток векторного поля
Е
(см. пример 4.2.1) через сферу
2222
Rzyx в направлении внешней нормали.
Решение. По формуле (4.7) имеем:
dE
S
n

, где
n
E – проекция вектора
напряженности
Е
на направление внешней нормали к сфере S. Так как направления
векторов
Е
и n совпадают, то
n
E = Е , причем
2
R
q
E
на поверхности S. Следовательно,

SS
R
q
d
R
q
d
R
q
K
222
,
где
= 4
2
R
– площадь сферы. Таким образом, qK
4
.
4.2.3. Дивергенция векторного поля
Рассмотрим векторное поле )(Maa и некоторую замкнутую поверхность S в этом
поле. Допустим, что поток вектора через внешнюю сторону поверхности
S положителен:

S
dna 0),(
.
Если данное векторное поле рассматривать как поле скоростей движущейся жидкости,
то положительность потока означает, что количество жидкости, вытекающей из области
Т,
ограниченной поверхностью
S, больше, чем количество жидкости, втекающей в эту область.
Иначе говоря, внутри объема должны находиться источники поля, интенсивность
(мощность) которых характеризуется величиной потока векторного поля через поверхность
S. Аналогично обстоит дело и когда поток векторного поля отрицателен; в этом случае в
области
Т должны находиться стоки. Однако возможно, что в обоих случаях в области Т
находятся и источники, и стоки, но при положительности потока общая интенсивность
источников превосходит интенсивность стоков, а при отрицательности потока дело обстоит
наоборот. Поэтому величина потока характеризует интенсивность источников и стоков лишь
суммарно. Более точной характеристикой является средняя интенсивность, которая
определяется отношением потока вектора через поверхность
S к объему V области Т,
ограниченной этой поверхностью:
V
dna
s

),(
. (4.10)

Страницы