Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 104 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

104
Пример 4.2.3. Найти дивергенцию вектора напряженности
Е
электростатического
поля, создаваемого точечным зарядом
q, помещенным в начало координат.
Решение. Проекции вектора
Е
определяются следующими формулами (см. пример
4.2.1.):
,/,/,/
333
rqzErqyErqxE
zyx
где
222
zyxr .
Для вычисления дивергенции воспользуемся формулой (4.12). Имеем:
6
23
3
r
x
r
xrr
q
x
E
x
, а так как
5
22
222
3
то,2
2
1
r
xr
q
x
E
r
x
x
zyx
x
r
x
,
Аналогично,
5
22
3
r
yr
q
y
E
y
,
5
22
3
r
zr
q
z
E
z
.
Применяя формулу (4.12), получим:
0
33
5
2222
r
zyxr
q
z
E
y
E
x
E
Ediv
z
y
x
,
если 0r . Итак, дивергенция вектора
Е
равна нулю всюду за исключением начала
координат, где помещен заряд.
Чтобы найти дивергенцию в точке, где находится заряд, воспользуемся формулой
(4.11), взяв в качестве S сферу радиуса R c центром в начале координат. Как было
установлено при решении примера 4.2.2, поток
qdnE
S
4),(

, следовательно,


3
00
3
4
4
lim
),(
lim)(
R
q
V
dnE
OEdiv
R
S
R
.
Используя выражение для дивергенции (4.12) и понятие потока вектора через
поверхность (4.6), формулу Остроградского-Гаусса (3.34) можно записать в более
компактной форме

T
S
dVadivdna
),( . (4.13)
Формула (4.13) означает, что поток векторного поля )(Maa через замкнутую
поверхность S в направлении ее внешней нормали равен тройному интегралу по области T,
ограниченной этой поверхностью, от дивергенции этого векторного поля.
4.2.4. Циркуляция векторного поля
Пусть в некоторой области D задано векторное поле
izyxPMa ),,()(
+
kzyxRjzyxQ ),,(),,( и пусть L – гладкая или кусочно-гладкая кривая, расположенная в
этой области. Выберем на L одно из двух направлений движения и обозначим через

dzdydxrd ,, вектор, имеющий в каждой точке кривой L направление, совпадающее с
направлением движения по этой кривой.

Страницы