Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 105 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

105
Определение 4.2.4. Линейным интегралом векторного поля )(Maa вдоль кривой L
называется криволинейный интеграл второго рода
LL
RdzQdyPdxrda ),( . (4.14)
В том случае, когда )(Maa – силовое поле, линейный интеграл (4.14) равен работе
сил поля при перемещении точки вдоль L (см. п. 3.1.3).
Особый интерес представляет случай, когда кривая L замкнута.
Определение 4.2.4. Циркуляцией векторного поля )(Maa вдоль замкнутой линии L
называется линейный интеграл
),( rdaRdzQdyPdx
LL
. (4.15)
Пример 4.2.4. Пусть стационарное
вращательное движение жидкости вокруг оси Oz
задано вектором угловой скорости
,0,0
(рис. 4.5). Рассмотрим в пространстве,
заполненном вращающейся жидкостью,
векторное поле
rMa
)(
линейной скорости
жидкости (здесь
kjyixr 0 – радиус-
вектор частицы жидкости, находящейся в точке
M(x, y, z) пространства относительно центра ее
вращения). Вычислим циркуляцию Г поля
)(Maa вдоль окружности L:
cosRx
,
sinRy , cz (с = const,
20 ).
Сначала найдем векторное поле
)(Ma
линейной скорости вращающейся жидкости:
kjxiy
yx
kji
rMa 0
0
00)(
.
Теперь по формуле (4.15) вычисляем циркуляцию Г =
2
0
22
sin(Rdyxdxy
L
+
+ SRdR

22)cos
222
, где S – площадь круга, ограниченного окружностью L.
Данный пример показывает, что циркуляция линейной скорости жидкости,
вращающейся вокруг оси, пропорциональна угловой скорости
вращения и площади S
круга, охватываемого при этом вращении. Поэтому величина
),( rdaГ
L
может служить
мерой мощности потока жидкости, движущейся вдоль окружности L с линейной скоростью
a
.
Удельная циркуляция
2
S
Г
(или средняя мощность рассматриваемого потока)
характеризует интенсивность вращательного движения жидкости и является мерой
завихренности потока.
z
c
r
)(Ma
M(x, y, z)
O
x
y
Рис. 4.5

Страницы