Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

107
)(),(
1
MarotSrda
n
L
,
или
),(
1
)(
1
rda
S
Marot
L
n
, (4.17)
где
DM
1
, а S – площадь фигуры D. Переходя в (4.17) к пределу при условии, что контур L
стягивается в точку M (
ML ), найдем проекцию вектора arot на направление n в точке M:
.),(
1
lim)(
L
ML
n
rda
S
Marot (4.18)
Правая часть равенства (4.18) не зависит от выбора системы координат, следовательно,
то же самое справедливо и для проекции вектора
)( Мarot на произвольное направление
n . Тогда и сам вектор arot не зависит от выбора системы координат, поскольку для
определения вектора достаточно знать его проекции на три взаимно перпендикулярные
направления. Таким образом, вектор
arot – инвариантная характеристика векторного поля.
Дадим физическое истолкование ротора векторного поля. Пусть
a = )(Мa – векторное
поле скоростей текущей жидкости. Тогда величина
L
rda
S
),(
1
в известном смысле
характеризует интенсивность движения жидкости вдоль замкнутого контура L (см. пример
4.2.4). В свою очередь, предел (4.18) (т. е.
arot
n
) будет характеризовать интенсивность
вращательного движения жидкости в точке М в данной плоскости Ρ.
Очевидно, в данной точке М предел (4.18) будет иметь наибольшее значение для такой
плоскости Ρ, нормаль
n к которой совпадает по направлению с вектором arot . В такой
плоскости Ρ
интенсивность вращательного движения жидкости в точке М будет наибольшей.
Таким образом, всякое векторное поле
a = )(Ma порождает новое векторное поле –
поле ротора исходного поля, причем вектор
arot в данной точке М векторного поля
a
= )(Ma характеризует тенденцию к вращению, или завихренность поля )(Ma в
рассматриваемой точке
М.
4.2.6. Простейшие векторные поля
Из всего многообразия векторных полей рассмотрим три типа полей, отличающихся
наиболее простой структурой и особенно часто встречающихся в приложениях:
потенциальное, соленоидальное и гармоническое векторные поля.
Определение 4.2.7. Векторное поле a =
)(Ma
, заданное в области D, называется
потенциальным, если существует такая скалярная функция )(Мfu
, что во всех точках
области D будет выполняться равенство
)( )( МfgradМa
. (4.19)
Функция )(Mfu называется потенциалом векторного поля (для силовых полей
функция
u обычно называется силовой функцией, а потенциалом называется функция –u ).
Пусть
a =

RQP ,, , тогда из (4.19) следуют равенства:
x
u
P
,
y
u
Q
,
z
u
R
, (4.20)

Страницы