ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
106
4.2.5. Ротор векторного поля
Определение 4.2.6. Ротором (или вихрем) векторного поля
)(Maa
называется
вектор
k
y
P
x
Q
j
x
R
z
P
i
z
Q
y
R
Marot
)(,
где P, Q, R – проекции вектора
a на оси координат.
Для вычисления вектора
arot можно использовать символический определитель
RQP
zyx
kji
arot
.
С помощью понятий ротора и циркуляции формула Стокса
d
y
P
x
Q
x
R
z
P
z
Q
y
R
RdzQdyPdx
S
L
coscoscos
записывается в компактной векторной форме
dnarotrda
S
L
),(),(
,
или
darotrda
S
n
L
),(
, (4.16)
где arot
n
– проекция вектора arot на направление нормали n .
Таким образом, циркуляция векторного поля
)(Maa вдоль замкнутого контура L
равна потоку вектора
arot через поверхность S, ограниченную контуром L.
Пример 4.2.5. Вычислить ротор поля линейных скоростей jxiya
жидкости,
вращающейся вокруг оси
Oz .
Решение. Используя определение ротора, получаем
,22200
0
0
0
kkjik
xy
yx
j
y
zx
i
x
zy
xy
zyx
kji
arot
т. е. ротор заданного векторного поля равен удвоенной угловой скорости вращения
жидкости.
Данное выше определение ротора зависит от выбора
координатной системы. Дадим теперь инвариантное, т. е. не
зависящее от выбора системы координат, определение
ротора поля. Пусть
n – произвольный фиксированный
единичный вектор, D – плоская фигура с границей L,
содержащая точку M и перпендикулярная вектору
n
(рис. 4.6).
Применяя теорему о среднем к интегралу в правой
части формулы (4.16), будем иметь
n
P
D
M
L
arot
Рис. 4.6
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- …
- следующая ›
- последняя »
