Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 108 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

108
в силу чего потенциальное векторное поле часто определяется как поле вектора, координаты
которого равны соответствующим частным производным некоторой скалярной функции
(потенциала).
В потенциальном поле
arot = 0
ugradrot . Действительно,
arot
x
=
,0
22
zy
u
yz
u
y
u
zz
u
yz
Q
y
R
если смешанные производные непрерывны. Аналогично, 0
arotarot
zy
. Если D –
односвязная область, то можно доказать и обратное: если
)( Marot =0, то векторное поле
a = )(Ma будет потенциальным. В связи с этим потенциальное поле называют также
безвихревым полем.
Далее, циркуляция потенциального векторного поля
a = )(Ma по любому замкнутому
контуру L, принадлежащему односвязной области D, в которой задано это поле, всегда равна
нулю, так как в силу (4.16) для такого поля имеем

LS
n
darotrda .0),(
(4.21)
Для силового потенциального поля, заданного в односвязной области D, равенство (4.21)
означает, что работа сил поля вдоль кривой
D
А
В
не зависит от формы этой кривой, а
определяется только положением точек A и B.
Как следует из формул (4.20), потенциальное векторное поле
a = )(Ma полностью
определяется скалярной функцией )(Мfu
.
Определение 4.2.8. Векторное поле a = )(Ma , заданное в области D, называется
соленоидальным, если во всех точках этой области выполняется условие
.0)(
Madiv
Из этого определения следует, что в гидродинамической интерпретации
соленоидальное векторное поле – это поле без источников и стоков, а в электростатической
интерпретации – поле без зарядов.
Если поле соленоидальное, а пространственная область D – односвязная, то поток
вектора поля через любую замкнутую поверхность S, лежащую в D, равен нулю.
Действительно, согласно формуле Остроградского-Гаусса
(4.13) имеем

TS
dVadivdna 0 ),(
.
Определение 4.2.9. Векторное поле a = )(Ma , заданное в области D, называется
гармоническим, если оно одновременно и потенциальное, и соленоидальное, т. е. если
)( )( MugradMa , 0)(
Madiv . (4.22)
Из (4.22) следует, что в гармоническом поле 0 ugraddiv . Учитывая, что
ugrad =
,,,
z
u
y
u
x
u
по формуле (4.12) найдем
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
z
u
zy
u
yx
u
x
ugraddiv
.
Следовательно, в каждой точке области D имеет место равенство
0
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
. (4.23)

Страницы