Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

110
в силу равенства смешанных производных второго порядка. Этот же результат легко
получить с помощью оператора
:
0)()(
aMarotdiv ,
так как здесь имеем смешанное произведение трех «векторов»:
,
, a , два из которых
одинаковы. Такое произведение, очевидно, равно нулю.
2
0
. 0 ugradrot . Действительно, в пункте 4.2.6 было показано, что 0 arot , если
ugrada . Этот же результат легко получить с помощью оператора
:
0)()(
uuugradrot ,
так как векторное произведение одинаковых «векторов» равно нулю.
3
0
.
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
ugraddiv
(см. пункт 4.2.6). Правая часть этого равенства
символически обозначается так:
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
u
или
u
zyx
u
2
2
2
2
2
2
.
Символ
2
2
2
2
2
2
zyx
называется оператором Лапласа. Оператор Лапласа Δ
естественно рассматривать как скалярный квадрат «вектора»
. В самом деле,
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
zyx
zyx
, поэтому uuugraddiv
2
.
4.3. Основные термины
Скалярное поле.
Производная по направлению.
Градиент.
Векторное поле.
Векторные линии.
Поток векторного поля.
Дивергенция векторного поля.
Циркуляция векторного поля.
Ротор векторного поля.
Потенциал векторного поля.
Потенциальное поле.
Соленоидальное поле.
Гармоническое поле.
4.4. Вопросы для самоконтроля
1.
Как определяется скалярное поле на плоскости и в пространстве?
2.
Что характеризует производная функции по заданному направлению?
3.
Как найти направление наибольшей скорости изменения функции в данной точке?
4.
Чему равна производная функции по направлению ее градиента?
5.
В каком направлении скорость изменения функции равна нулю?
6.
Как определяется векторное поле на плоскости и в пространстве? Приведите
примеры векторных полей.
7.
Что называется потоком векторного поля и каков его физический смысл?

Страницы