Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

109
Равенство (4.23) называется уравнением Лапласа, а функции, ему удовлетворяющие, –
гармоническими функциями.
Таким образом, гармоническое векторное поле полностью определяется своим
потенциалом, являющимся гармонической функцией.
С помощью уравнения Лапласа (4.23) описываются стационарные процессы различной
физической природы, например: установившееся распределение теплоты,
электростатическое поле точечных зарядов, движение несжимаемой жидкости внутри
некоторой области и т. д.
4.2.7. Оператор Гамильтона
Основные понятия теория поля: градиент, дивергенция, ротор и операции над ними
удобно представлять с помощью оператора Гамильтона, или оператора «набла»:
.k
z
j
y
i
x
Оператор
будем рассматривать как символический вектор с координатами
x
,
y
и
z
,
а операции с ним проводить по правилам векторной алгебры. При этом под произведением
x
,
y
и
z
на скалярную функцию будем понимать частную производную этой функции
по x, y и z.
1.
Пусть u (x,y,z) – скалярная функция. Тогда произведение оператора на функцию u
дает градиент этой функции:
ugradk
z
u
j
y
u
i
x
u
uk
z
j
y
i
x
u
.
2.
Пусть kRjQiPMa )( – вектор-функция. Тогда скалярное произведение
оператора
на вектор-функцию )(Ma дает дивергенцию этой функции:

)( )( Madiv
z
R
y
Q
x
P
kRjQiPk
z
j
y
i
x
Ma
.
3.
Векторное произведение оператора
на вектор-функцию
)(Ma
дает ротор этой
функции:
)( )( Marotk
y
P
x
Q
j
x
R
z
P
i
z
Q
y
R
RQP
zyx
kji
Ma
.
В приложениях часто встречаются так называемые операции второго порядка, т. е.
попарные комбинации трех указанных выше операций. Рассмотрим наиболее важные из них.
1
0
. 0)( Marotdiv . Действительно,
0
)(
222222
zy
P
zx
Q
yx
R
yz
P
xz
Q
xy
R
y
P
x
Q
zx
R
z
P
yz
Q
y
R
x
Marotdiv

Страницы