Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

103
В поле скоростей текущей жидкости при положительности потока это отношение дает
среднее количество жидкости, поступающей из единицы объема за единицу времени. Если
поток отрицателен, то отношение определяет количество жидкости, поглощаемой в среднем
единицей объема за единицу времени.
Чтобы получить характеристику интенсивности источника (стока) в точке
М
0
Т,
будем в (4.10) стягивать поверхность
S в точку М
0
.
Определение 4.2.3. Дивергенцией, или расходимостью, векторного поля
Μаа в
точке
М
0
называется предел отношения (4.10) при условии, что поверхность S стягивается в
точку
М
0
(S М
0
).
Обозначается символом

0
Mаdiv . Таким образом, по определению

V
dna
Mаdiv
S
MS

,
lim
0
0
. (4.11)
Дивергенция векторного поля – скалярная величина. Она образует скалярное поле в
данном векторном поле.
Имея в виду физическое значение потока векторного поля, можно сказать: если

0
Mаdiv > 0, то точка М
0
представляет собой источник, откуда жидкость вытекает, а если

0
Mаdiv < 0, то точка М
0
– сток, поглощающий жидкость. При этом число
0
Mаdiv
характеризует интенсивность (мощность) источника или стока. В точках поля с
положительной дивергенцией векторные линии начинаются, а в точках поля с отрицательной
дивергенцией – кончаются. В электростатическом или магнитном поле источниками будут,
соответственно, положительные заряды или северный полюс магнита, а стоки –
отрицательные заряды или южный полюс магнита.
Получим формулу, удобную для вычисления
дивергенции векторного поля. С этой
целью преобразуем интеграл в правой части формулы (4.11). Предполагая условия теоремы
3.2.1 выполненными, согласно формуле Остроградского-Гаусса (3.34) будем иметь:


dxdydz
z
R
y
Q
x
P
dRQPdna
TSS

coscoscos,
.
Далее, используя теорему о среднем для тройного интеграла, получаем
V
z
R
y
Q
x
P
dxdydz
z
R
y
Q
x
P
M
T

1
,
где М
1
– некоторая точка области Т. Отсюда

dna
V
S

,
1
=
1
M
z
R
y
Q
x
P
.
Если поверхность S стягивается в точку М
0
, то М
1
М
0
, а тогда


01
010
lim,
1
lim
0
MM
MM
s
S
z
R
y
Q
x
P
z
R
y
Q
x
P
dna
V
Madiv

.
Таким образом, в произвольной точке М (x,y,z) векторного поля

Mаа имеем:
Mаdiv =
z
R
y
Q
x
. (4.12)

Страницы