Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

99
s
z
ss
y
z
s
x
z
szgrad
coscos, . (4.2)
С другой стороны, по определению скалярного произведения имеем

cos, szgradszgrad , (4.3)
где φ – угол между векторами
s и grad z. Сравнивая формулы (4.2) и (4.3), получаем
cos
zgrad
s
z
. (4.4)
Из равенства (4.4) следует, что производная функции по направлению имеет
наибольшую величину при cos φ=1 (φ=0), т. е. когда направление вектора
s совпадает с
направлением grad z. При этом

22
yx
zzzgrad
s
z
.
Таким образом, градиент функции z = f(x,y) в точке М(х,у) характеризует направление и
величину наибольшей скорости возрастания этой функции в данной точке.
Аналогично определяются производная
s
u
по направлению вектора s для функции
трех переменных u = f(x,y,z) и выводится формула
coscoscos
z
u
y
u
x
u
s
u
,
где cos α, cos β, cos γ – направляющие косинусы вектора
s . Градиентом функции u = f (x,y,z)
называется вектор
.,,
z
u
y
u
x
u
ugrad Связь между градиентом и производной по
направлению устанавливается формулой
),,( ,cos ugradsugrad
s
u
вывод которой аналогичен выводу формулы (4.4).
Аналогичным образом определяются градиент и производная по направлению и для
функции n переменных (n – мерного скалярного поля, n 3).
4.2. Векторное поле
4.2.1. Понятие векторного поля. Векторные линии
Аналогично с понятием скалярного поля вводится понятие векторного поля. Говорят,
что в плоской или пространственной области D задано векторное поле, если в D задана
векторная функция
),(Maa т. е. каждой точке М из D поставлен в соответствие вектор .a
Примеры векторных полей:
1. В пространстве, окружающем Землю, существует гравитационное векторное поле:
на материальную точку, внесенную в любую точку М указанного пространства, действует
сила тяжести
).(MP
2. Вокруг тела, заряженного электричеством, наблюдается векторное поле
напряженности, которое проявляется при внесении в любую точку пространства,
окружающего тело, заряженной частицы.
3.
Пусть некоторая пространственная область D занята текущей жидкостью. Если
любая частица жидкости, протекая через данную точку М области D, имеет один и тот же

Страницы