Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

97
ГЛАВА 4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Понятие поля лежит в основе многих представлений современной физики.
В общем случае говорят, что в пространстве задано поле некоторой величины u, если в
каждой точке пространства (или некоторой его части) определено значение этой величины.
Так, например, при изучении потока газа приходится исследовать несколько полей:
температурное поле (в каждой точке температура имеет определенное значение), поле
давлений, поле скоростей и т. д.
Поле величины u называется стационарным, если u не зависит от времени t.
В противном случае поле называется нестационарным. Таким образом, величина u есть
функция точки М и времени t.
В физических задачах приходится иметь дело как со скалярными, так и с векторными
величинами. В соответствии с этим различают два вида полей: скалярное и векторное. Для
простоты будем считать их стационарными.
4.1. Скалярное поле. Производная по направлению
и градиент скалярного поля
Пусть D – область на плоскости или в пространстве. Говорят, что в области D задано
скалярное поле, если в D задана скалярная функция
yxfz ,
(

zyxfu ,, ). Если,
например, область D заполнена жидкостью или газом, и
zyxf ,, обозначает температуру в
точке М(x,y,z), то говорят, что задано скалярное поле температур; если

zyxf ,,
– давление,
то задано скалярное поле давлений и т. д. Важнейшими характеристиками скалярного поля
являются производная по направлению и градиент.
Рассмотрим функцию

yxfz , , определенную в некоторой окрестности точки М(х,у),
и произвольный вектор s , выходящий из точки М (рис. 4.1).
Для характеристики изменения функции (поля) в
точке М (х,у) в направлении вектора s введем понятие
производной по направлению. Для этого через точку М
проведем прямую L в направлении вектора s . На
прямой L возьмем точку М
1
(х + Δх, у + Δу) на
расстоянии Δs от точки М. Таким образом,
 
22
yxs . Функция
),( yxfz
получит при
этом приращение

yxfyyxxfz ,,
.
Определение 4.1.1. Предел отношения
s
z
при Δs→0, если он существует, называется
производной функции (скалярного поля)
yxfz ,
в точке М (х,у) по направлению вектора
s
и обозначается
s
z
, т. е.
s
z
s
z
s
0
lim .
Производная
s
z
– скорость изменения функции (скалярного поля) вдоль выбранного
направления.
х
у
О
х
х+Δх
у
М
М
1
s
L
α
β
Рис.4.1

Страницы