Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

98
Предположим теперь, что функция z = f(x,y) дифференцируема в точке М(х,у). Тогда ее
полное приращение в этой точке в направлении вектора
s можно записать в виде

yxyyxfxyxfz
yx
11
,,
,
где α
1
и β
1
– бесконечно малые функции при Δs→0. Разделим обе части этого равенства на
Δs. Учитывая, что
cossx
,
cossy
(рис. 4.1), получим
 
coscoscos,cos,
11
yxfyxf
s
z
yx
.
Переходя к пределу при Δs→0, получаем формулу для производной по направлению
coscos
y
z
x
z
s
z
. (4.1)
Из формулы (4.1) следует, что производная по направлению вектора s является
линейной комбинацией частных производных, причем направляющие косинусы вектора
s (cos α, cos β) играют роль весовых множителей, показывающих вклад в производную по
направлению соответствующей частной производной.
В частности,
x
z
s
z
при α = 0,
2
;
y
z
s
z
при
2
, β = 0. Отсюда следует,
что частные производные
x
z
и
y
z
– производные в направлении осей Ох и Оу
соответственно.
Пример 4.1.2. Вычислить производную скалярного поля z=x
2
+y
2
x в точке М (1,2) по
направлению вектора
NMs , где N – точка с координатами (3,0).
Решение. Найдем направляющие косинусы вектора MN : jiMN 22}2,2{ ;

22822
2
2
MN ,
2
1
22
2
cos
,
2
1
22
2
cos
.
Вычислим частные производные функции в точке М:
2
2, yxyxf
x
,

yxyxf
y
2,
,
откуда

62,1
x
f ,

42,1
y
f . По формуле (4.1) получим
2
2
1
2
2
1
4
2
1
6
s
z
.
Определение 4.1.2. Градиентом функции (скалярного поля) z = f(x,y) в точке М(х,у)
называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным
x
z
и
y
z
.
Обозначение:
j
y
z
i
x
z
y
z
x
z
zgrad
, .
Используя формулу (4.1) и учитывая, что
}cos,cos{
sss , найдем скалярное
произведение векторов
sиzgrad :

Страницы