Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

115
4.6.2. Задачи
Образцы решения задач
Задача 1. Найти производную скалярного поля u(x,y,z)=

zyx arctg
2
в точке
М (1,1,1) по направлению вектора .18918 kjis
Решение. Вычислим grad u в точке М (1,1,1) : grad u =
z
u
y
u
x
u
,,
 
,
1
1
,
1
1
,2
22
zyzy
x grad u (М) =
5
1
,
5
1
,2.
Найдем направляющие косинусы вектора
18,9,18s . Так как
,2718918
222
s то .
3
2
27
18
cos,
3
1
27
9
cos,
3
2
27
18
cos
Производную по направлению вычисляем по формуле
:coscoscos
z
u
y
u
x
u
s
u

.
15
17
3
2
5
1
3
1
5
1
3
2
2
M
s
u
Задача 2. Найти угол между градиентами скалярных полей
,2,,
3
zyzxzyxu

4
2
,,
z
xy
zyxv в точке М (0,2,1).
Решение. Найдем градиент скалярного поля
zyxu ,, в точке М:
,3,,2,,
2
yzz
z
u
y
u
x
u
ugrad
1,1,2 Mugrad
.
Аналогично,
,
4
,
2
,,,
5
2
44
2
z
xy
z
xy
z
y
z
v
y
v
x
v
vgrad
.0,0,4
Mvgrad
Пусть
– угол между векторами grad u (М) и grad v (М), ,)(Mugrad )(Mvgrad –
длины этих векторов. Тогда



,
2
2
4112
010142
)()(
)(),(
cos
2
2
2
MvgradMugrad
MvgradMugrad
следовательно,
.
42
2
arccos
Задача 3. Найти поток векторного поля kzjyixa 23 через часть плоскости
,12 zyx расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz).

Страницы