ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
117
где Т – область, ограниченная поверхностью S,
z
R
y
Q
x
P
adiv
– дивергенция вектора
RQPa ,, .
В данном случае
xeP
z
2
1
,
yxQ , zyxR
2
, следовательно,
2
1
11
2
1
2
1
2
zyx
z
yx
y
xe
x
adiv
z
,
TTT
VdVdVdVadivK
2
1
2
1
2
1
.
Остается найти объем V тела Т. Выясним, что собой представляет это тело. С этой
целью преобразуем уравнение поверхности S, выделяя полные квадраты:
122
222
yxzyx ,
211212
222
zyyxx ,
111
2
22
zyx
.
Таким образом, поверхность S – сфера радиуса R=1 с центром в точке (1, 1, 0), тело Т –
шар, ограниченный этой сферой. Его объем
3
4
V . Тогда
3
2
3
4
2
1
2
1
VK .
Задача 5. Найти циркуляцию векторного поля kxjyixza вдоль контура С:
tx sin
, t
y
cos , tz cos (в направлении, соответствующем возрастанию параметра t).
Решение. Из уравнений контура С следует, что изменению параметра t от 0 до 2π
соответствует однократный обход этого контура. Циркуляция Г определяется формулой
(4.15)
C
RdzQdyPdxГ .
Поскольку линия С задана параметрически, то для вычисления интеграла воспользуемся
формулой (3.11) (точнее, ее обобщением на случай пространственной кривой). Учитывая,
что
,sin)(,cos)(,,, ttyttxxRyQxzP
,sin)( ttz
будем иметь
.
4
2sin
2
1
2
cos
3
cos
2cos1
2
1
)(coscos)(coscossinsincossincos
)sin(sin)sin(coscoscossin
0
2
23
2
0
2
0
2
0
2
2
0
22
2
0
2
0
t
t
tt
dttttdttddtttttt
dttttttttdtzRyQxPГ
Расчетное задание
Задача 1. Найти производную скалярного поля u (x, y, z) в точке М по направлению
вектора
.s
1. )1,1,1(,,)(
2/3222
Mkjiszyxu .
2.
)1,1,2(,2),ln(
22
Mkjisyzxu .
3.
)2,5,1(,22,
22
Mkjszxyyxu
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- …
- следующая ›
- последняя »
