Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 152 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

152
Задача 1.2. Исследовать на сходимость ряд
1
2
arcsin
1
3
n
n
n
.
Решение. Воспользуемся предельным признаком сравнения (теорема 5.1.3). Так как
1
1
~
1
1
arcsin
nn
при n → ∞ , то
02
/11
2
lim
1
2
lim
1
:
1
2
lim
1
:
1
2
arcsinlim
3/2
3
3/2
3
nn
n
n
n
n
n
n
n
nnnn
.
Поскольку ряд
1n
3/2
1
3
2
n
1
расходится, то исходный ряд также расходится.
Задача 2.1. Исследовать на сходимость ряд
1
!2
n
n
n
n
n
.
Решение. Применим признак Даламбера (теорема 5.1.4). Учитывая то, что
1
1
1
)1(
!)1(2
n
n
n
n
n
U
, находим
1
2
1
1
2
lim
)1(
2
lim
!2)1(
!)1(2
lim
!2
:
)1(
!)1(2
limlim
1
1
1
1
1
e
n
n
n
nn
nn
n
n
n
n
U
U
n
n
n
n
n
nn
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
.
Следовательно, по признаку Даламбера данный ряд сходится.
Задача 2.2. Исследовать на сходимость ряд
n
n
n
n
2
1
13
.
Решение. Так как
1
3
1
/13
1
lim
13
lim
13
limlim
2222
nn
n
n
n
U
nn
n
n
n
n
n
n
, то
согласно радикальному признаку Коши (теорема 5.1.5) данный ряд сходится.
Задача 3. Найти область сходимости степенного ряда
1
1
3
n
n
n
n
x
.
Решение. Радиус сходимости данного степенного ряда находим по формуле
1
lim
n
n
n
a
a
R
. Так как
13
1
,
3
1
1
1
n
a
n
a
n
n
n
n
, то
3
1
1lim3
3
13
lim
13
1
:
3
1
lim
11
n
n
n
nn
R
n
n
n
n
nn
n
,
следовательно, ряд абсолютно сходится в интервале (–3, 3).
Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости. Подставляя в данный ряд
вместо х число 3, получим числовой расходящийся ряд

11
1
1
3
3
3
nn
n
n
nn
, так как ряд
Дирихле
1
1
n
n
расходится при α ≤ 1. При х = – 3 получим числовой знакопеременный ряд

Страницы